Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Главная страница


Урок по теме: «Обозначение натуральных чисел» учителю непременно понадобится следующий материал из истории




страница1/5
Дата08.07.2017
Размер1.23 Mb.
ТипУрок
  1   2   3   4   5
Исторический материал, рекомендуемый к использованию на уроках математики.

В этом разделе будут рассмотрены фрагменты исторических материалов, предлагаемых для использования на уроках математики в пятых, шестых и седьмых классах.


Элементы истории на уроках математики в пятом классе.


  1. Чтение и запись натуральных чисел.

Начав урок по теме: «Обозначение натуральных чисел» учителю непременно понадобится следующий материал из истории.

Прежде всего, необходимо упомянуть о том, как люди учились считать. Как с течением времени менялись изображения цифр. Трудно предположить, что этот материал можно дать без привлечения наглядности. Поэтому необходимо заранее приготовить плакаты с изображением цифр у различных народов. Материал для данных плакатов может быть взят из следующих книг: «За страницами учебника математики» Депмана И.Я. и Виленкина Н.Я. (стр. 37-41), «История математики в школе IV-VI классы» Глейзера Г.И. (стр. 15-18, 31, 33-34, 49-50).

Одним из древнейших, дошедших до нас трудов по арифметике является учебник «Вопросы и решения» армянского философа и математика Анании Ширакаци, жившего в VII веке. В его книге применяется алфавитная нумерация. Десятичная алфавитная нумерация была распространена и в Киевской Руси. В древности на Руси писали числа при помощи букв славянского алфавита, над которыми ставили особый значок – титло.

И только после того, как дети на практике убедятся, на сколько сложно и не совершенно было использование данных нумераций, будет целесообразно обратится к истории привычных для них цифр.

Для счета предметов используют натуральные числа. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти цифры иногда ошибочно называют «арабскими». Хотя впервые они появились в Индии, и правильнее было бы называть их индийскими. Эти цифры прошли долгий путь, прежде чем появились в России и попали они к нам в трудах арабских ученых. Именно из-за этого и появилось ошибочное название цифр – «арабские».

Десятичная система письменного счисления возникла в Индии около 2000 лет назад, в Европе она распространилась благодаря труду по арифметике среднеазиатского ученого Мухаммеда ал-Хорезми (787-850 гг.). По возможности необходимо показать портрет этого ученого.

Цифра «0» появилась в Индии самой последней, только в IX веке.

А теперь имеет смысл посмотреть какие сведения из выше приведенных можно найти в школьных учебниках математики.

Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин «Математика, 5 класс», - М. Просвещение, 1994 – 272 с. (стр. 37-39)

1) Описание египетских цифр от 1 до 9.

2)Изображение римских цифр.

3)Арабские цифры, но индийское происхождение этих цифр не упоминается.

4)Изображение цифры ноль

Все сведения включены в объяснение нового материала.

Э.Р. Нурк «Математика, 5 класс», - М. Просвещение, 1990 – 304 с. (стр. 7-8). Все сведения даны после теоретического материала в разделе «Исторические сведения»

Упоминается, что современные цифры появились в Индии, а через арабов попали в Европу. Первая позиционная система счета появилась в Древнем Вавилоне (шестидесятиричная). Принцип построения не дан. Но говорится, что частично эта система счисления используется до сих пор. Например, при делении часа на 60 минут, минуты на 60 секунд и так далее. Даны римские цифры.

Л.Н. Шеврин, А.Г. Гейн «Математика: Учебник – собеседник для 5 класса», - М. Просвещение, 1994 – 319 с. (стр. 144-1457). Сведения даются в разделе «Большая перемена», достаточно далеко от темы, с которой связаны. Основное внимание уделяется римским цифрам. И лишь вскользь упоминается, что арабские цифры были изобретены в Индии.

С.М. Никольский «Арифметика, 5 класс», - М. Издат. Отдел УНЦ ДО МГУ, 1996 – 304 с. (стр. 80-82). Раздел «Исторические сведения» в конце Главы 1. Натуральные числа и нуль. Рассказывается об обозначениях для чисел у многих племен Австралии и Полинезии. Обозначение чисел в Древнем Египте и Киевской Руси. Римские цифры и вавилонская система счисления. Рассказывается, что современные цифры зародились в Индии в V веке. В IX веке ими уже владели арабы, в X веке они дошли до Италии, а в XII веке появились в других странах Европы, но широкое распространение получили лишь в XVI веке. В России распространение десятичной системы счисления началось лишь в XVII веке.

Н.Я. Виленкин «Математика, 5 класс», - М. Мнемозина, 1998 – 384 с. (стр. 43-45). Материал дан в конце первого параграфа: «Натуральные числа и шкалы». Основное внимание уделяется русскому алфавитному счету и римской нумерации.

И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович «Математика, 5 класс», - М. Мнемозина, 2002 – 293 с. (стр. 7-10). Материал дается при объяснении первого параграфа «Десятичная система счисления». Много внимания уделено римским цифрам и значимости цифры «0».

Если внимательно присмотреться к историческому материалу, который дан в учебниках, то легко заметить, что математика на этом этапе не имеет ни «имени» ни «лица». Не упоминается имя человека благодаря которому Европа познакомилась с индийскими цифрами. Нет имени человека, который распространил эти цифры в России. Нет ни одного портрета. Почти нет начертания цифр у других народов. Напрашивается вывод, что материал учебников не достаточно проиллюстрирован.

Что касается задач к этой теме, то их можно предложить много:



  1. Используя римскую систему нумерации, прочитайте числа: I, II, IV, VII, IX, XI, XVII, MCMXCV.

  2. Используя римскую систему нумерации, запишите числа: 6, 8, 12, 18, 19, 20, 23, 24.

  3. На одной из старых улиц Москвы стоят два дома, на фасадах которых обозначены даты их постройки: MDCCCCV и MDCCCLXXXXIX. В каком году построен каждый дом?

  4. В предыдущем задании упростите запись чисел, учитывая, что четыре одинаковые цифры подряд обычно не пишут.

Эти задачи взяты из книги С.М. Никольского и др. «Арифметика» (стр. 61-62)

  1. Выполните действия:

MMCCCXXV:(LVI LIII) – CCCLXIX ;

VI(VVCCCLII:LVI CLXVII);

(MMMCCCXLIX – XVIII*CVIII):V;

(MMMCV:XXVII LXXV)LXXXVII.

Данная задача взята из сборника «Дидактические материалы по математике. 5 класс», Чулков П.В. (стр. 137-138)


  1. Арифметические действия над натуральными числами (сложение, вычитание, умножение и деление).

Для облегчения работы вычислителя в Древнем Вавилоне были созданы различные таблицы, в том числе и таблица умножения. Ребятам хорошо известно как выглядит таблица умножения на обложках их тетрадей, но ведь не менее интересно посмотреть, а как она выглядела раньше. Например, в «Истории арифметики» И.Я. Депмана можно найти как выглядела таблица умножения у Шюке (1484).

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 2 3 4 5 6 7 8 9 0

4 6 8 10 12 14 16 18 0


3 3 4 5 6 7 8 9 0

9 12 15 18 21 24 27 0


4 4 5 6 7 8 9 0

16 20 24 28 32 36 0

5 5 6 7 8 9 0

25 30 35 40 45 0


6 6 7 8 9 0

36 42 48 54 0


7 7 8 9 0

49 56 63 0


8 8 9 0

64 72 0
9 9 0

81 0
0 0

0

У Видмана (1489).



1

2




2

4

3




3

6

9

4




4

8

12

16

5




5

10

15

20

25

6




6

12

18

24

30

36

7




7

14

21

28

35

42

49

8




8

16

24

32

40

48

56

64

9

9

18

27

36

45

54

63

72

81

Греки и римляне считали с помощью счетной доски – абака. Доска абака была разделена на полоски. Каждая полоска предназначалась для откладывания тех или иных разрядов чисел; в первую полоску ставили столько камешков или бобов, сколько в числе единиц, во вторую полоску – сколько в нем десятков, в третью – сколько в нем сотен и так далее. Здесь удачен будет показ на доске рисунка абака, схематически он может быть выполнен до урока мелом. На этом рисунке можно попытаться набрать с ребятами какое-либо число. Или, нарисовав камушки (жирными точками) в соответствующих полосках, спросить у учеников – что это за число. Можно также дать возможность ребятам самостоятельно набрать какие-нибудь числа с помощью нарисованного на доске абака.

Дополнительную информацию об этом древнем приборе учитель может получить из книги И.Я. Депмана «История арифметики», страницы 79-83.

Любопытно ребятам будет узнать, что современное слово калькуляция (калькулятор) произошло от римского калькулюс – камешек в абаке.

Русский аналог абака – счеты. Аналогичный прибор употребляли для счета многие народы. Индийские брахманы употребляли косточки на шнурке, которые они перебирали, перечисляя имена богов. От них произошли четки христианских монахов, у которых такие же косточки на шнурке служили для счета повторяемых молитв. Необходимо показать счеты и проиллюстрировать принцип работы с ними.

В средневековой Европе повсеместно использовались римские цифры, но, поскольку работать с ними трудно, непосредственно вычисления производились на абаке. В XII веке была переведена на латинский язык книга аль- Хорезми, с этого времени в Европе начался постепенный переход на арабские цифры и новую систему счета. Однако поклонники абака не спешили сдавать позиций. Новое укоренялось с трудом. Борьба между абацистами и алгоритмиками закончилась только в XVII веке победой новой системы счета.

Интересным для ребят может стать разговор о знаках арифметических действий, которыми они пользуются, не зная их истории.

Многие века знаки действий люди писали словами; сначала полностью, а затем сокращая. Потребовались тысячи лет, прежде чем люди условились обозначать действия так, как обозначаем мы.

Для такого урока понадобится следующая таблица:


Знаки арифметических

действий


Когда введен

В математику



Кто ввел в обиход

« » и «- »
«х»
«.»

«:»


«=»
«( )»

«<» и «>»



Конец XV века
1631 год
1693 год

1684 год


1557 год
XVI век

1631 год


Итальянский ученый

Леонардо да Винчи.

Английский ученый

У. Аутрид.

Немецкий математик

Г. Лейбниц.

Английский математик

Р. Рикорд.

Итальянские математики.

Английский математик

Т. Гарриот.

Знаки и – появляются как бы случайно у Видмана(1489), Штифеля (1545), Риза (1550). Производя впечатление, что они не «аборигены» (уроженцы) математики, а «пришельцы» из других областей. В частности из торговой практики.

Первой печатной книгой, содержащей изложение приемов вычислений с применением знаков « » и «–», является руководство Грамматеуса (1518). Для избежания путаницы в XVII веке знак минус стали обозначать . Эту форму знака вычитания мы видим в алгебраической части «Арифметики» Магницкого.

Точка в качестве знака умножения появилась у Региомонтана (1436-1476), затем у Гарриота (1631).

Горизонтальная черта в качестве знака деления имеется у Леонардо Пизанского (XIII век) и позаимствована им от арабов. Знак деления «:» впервые встречается у Джонсона (1633). Пелль (1610-1685) вводит знак деления «», употребляемый до сих пор в Англии и Америке.

Приемы сложения чисел в современном виде возникли в Индии. Индийцы складывали многозначные числа слева направо, «стирая» без труда в числе, написанном в качестве суммы, цифру, если нужно было ее увеличить. Результат сложения в Индии писали не под колонками слагаемых, а над ними – прием, который встречается у греков и римлян. Индийский прием сложения усвоил Мухаммед ал-Хорезми в начале IX века и передал его арабам и через них Европе. Сакробоско (середина XIII века), профессор математики и астрономии в Париже, внедрил в Европе через свое руководство правило сложения чисел справа налево. С XV века способ сложения уже не отличается от современного.

При выполнении действия вычитания применялись в различные времена два приема: 1) отсчитывание от уменьшаемого единиц вычитаемого, 2) прибавление к вычитаемому такого числа, чтобы в сумме получилось уменьшаемое. Второй прием получил в новое время название австрийского способа.

Первый способ берет свое начало из Индии, где он выполнялся слева направо, что было практически не трудно при легкости «стирания» подлежащей изменению цифры при индийском способе письма. Все записи делались на дощечках, посыпанных песком. При выполнении действия не на дощечках с песком пришлось ввести неудобный способ перечеркивания и надписывания цифр. Вот как выглядит вычитание по раннему переводу книги ал-Хорезми (по-видимому, сделанному Иоанном Севильским,XII век).

1) 9 2) 8 3) 8

12025 94 94 1

3604 12025 12025

3604 3604

Смысл записей следующий:



  1. 12-3=9; результат записывается сверху, использованные цифры зачеркиваются (или подчеркиваются, как у меня).

  2. 6 (сотен) из 0 (сотен) вычесть нельзя, берется от полученного числа 9 (тысяч) одна; 10 (сотен) минус 6 (сотен), получаем 4 (сотни). Перечеркивается 9, равно как и использованные цифры, 0 и 6, надписываются 8 и 4.

  3. 2 десятка – 0 = 2 десяткам, перечеркивается лишь 0.

  4. 5 – 4=1, перечеркиваются 5 и 4 и надписывается 1. Получается в виде числа из неперечеркнутых цифр 8421. Вычислитель, знакомый с методом, писал только третий этап записи.

Западные арабы ввели правило начинать вычитание от правой руки, однако, в Европе еще Рамус (конец XVI века) рекомендует начинать вычитание слева.

Немецкий автор Петценштейнер (XV век) советует выполнять умножение (456х97) следующим образом:



456

3192 7


4104 9

44232


В «Арифметике» Магницкого приведен такой способ умножения:

481


399

1443


4329

4329

191919






4

5

6




4

3

6


4

5


5

4


9

4

2

8


3

5


4

2


7




2

3

2



Очень распространенным в старину был способ умножения «решеткой», называвшийся в Италии Gelosia (джелозия, жалюзи – решетчатые ставни). Умножение чисел 456 и 97 по этому способу располагается так:

Множимое стоит над решеткой (в верхней строке), множитель справа, написанный сверху вниз. От умножения каждой цифры множимого на каждую цифру множителя получаются однозначные или двузначные числа, десятки этих чисел пишутся в соответствующей клетке над наклонной чертой, единицы – под ней. Цифры произведения получаются сложением чисел по наклонным полоскам решетки, начиная справа. Самая правая полоса дает 2, именно, эта цифра записана под ней. Затем 4 4 5=13, под полосой записывается цифра 3, а число десятков перекидывается в следующую полоску. Далее 1 5 5 3 8=22, 2 пишем и 2 запоминаем. Потом 2 4 6 2=14, 4 пишем – 1 запоминаем. Последнее 1 3=4, записываем 4. Итак, результат выполнения умножения следующий – 44232.

У некоторых авторов встречается и такой способ записи действия умножения:

456х97

36

45



54

42

35



28

44232


Наш современный способ умножения стал единственным, применяемым на практике со времен учебников Адама Риза (XVI век).

Проиллюстрировать способы выполнения действия деления достаточно сложно, поэтому их можно либо опустить, либо обратиться к ним на занятиях математического кружка.

К вышеприведенному материалу хорошо подойдут следующие задачи:

1) Задача Рачинского С.А. Летом у меня целые сутки было открыто окно. В первый час влетел один комар, во второй – 2, в третий – 3 и так далее. Сколько комаров налетело за сутки?

2) С завода отправили 9 подвод с посудой, на каждой по 2 ящика, и в каждом ящике по 45 дюжин тарелок. Сколько тарелок отправлено с завода.
3. Квадрат и куб чисел.

Необходимо рассказать, что первые таблицы квадратов и кубов натуральных чисел появились еще в Древнем Вавилоне и примером тому служат первая и вторая таблицы Сенкере.



Первая таблица Сенкере.

На этой таблице помещены квадраты чисел от 1 до 60, выраженные по шестидесятиричной системе счисления. Вот пример записи:

1х21 есть квадрат 9

2х1 есть квадрат 11

2х49 есть квадрат 13

3х45 есть квадрат 15

4х16 есть квадрат 16

-//-//-//-//-

25х21 есть квадрат 39

-//-//-//-//-

56х4 есть квадрат 58.

Проверьте справедливость этой записи.



и так далее.

Вторая таблица Сенкере.

На этой таблице помещены кубы чисел от 1 до 32, выраженные в шестидесятиричной системе счисления. Вот пример записи:

2х5 есть куб 5

3х36 есть куб 6

5х43 есть куб 7

8х32 есть куб 8

-//-//-//-//-//-//-//-//-

1х8х16 есть куб 16

-//-//-//-//-//-//-//-//-

9х6х8 есть куб 32

Проверить справедливость этой записи.

.

Тяжело не согласиться с тем, что эти задания являются более интересными, чем те, что предложены в наших учебниках.




  1. Буквенные выражения и уравнения.

Несмотря на то, что эта тема изучается в начале 5 класса, она слишком сложна для изучения. Опыт показывает, что большинство учащихся не имеют навыков арифметического решения задач. А это говорит о том, что и алгебраическое решение задач будет достаточно сложным для них. Ведь именно учась решать задачи арифметически, мы учимся анализировать условие задачи. Мы разбираем, что известно и что необходимо найти. Мы выясняем, каким путем, двигаясь от известного, можно получить то, что необходимо найти. Для этого мы составляем краткую запись. Но что же мы имеем на данный момент в школе. Учителя начальных классов жалуются на нехватку времени, и чтобы ее как-то компенсировать учат решать задачу без составления краткой записи и экономя время на проведении анализа условия задачи. Учителя 5 классов сталкиваются с тем, что ребенок не может по условию задачи составить краткой записи, а, следовательно, не может проанализировать условие. Из этого можно сделать пугающий и настораживающий вывод – большинство детей не умеют решать задачи. Поэтому основной задачей 5 класса можно считать преодоление недостатков образования, полученного в начальной школе. Поэтому исторический материал по теме «Уравнения» целесообразно давать в шестом классе.
5.Обыкновенные дроби.

Первая дробь, с которой познакомились люди, была, наверное, половина или . За ней последовали , , …, затем , и так далее, то есть самые простые дроби, доли целого, называемые единичными или основными дробями. У этих дробей числитель всегда 1. Некоторые народы древности, например, египтяне, выражали любую дробь в виде суммы только основных дробей, исключение составляла лишь дробь , для которой было свое обозначение. Для иллюстрации хорошо взять таблицу, помещенную в книге Глейзера на странице 28.



Задание ученикам. Проверить следующие представления дробей, приведенные в папирусе Ахмеса.

; ; ;

.

Казалось бы, не умея складывать дроби с разными знаменателями, невозможно выполнить задание. Но это совсем не так. Можно провести следующие рассуждения:



  1. Разделим квадрат на 66 равных частей, одна из них составляет квадрата.

  2. Сколько таких частей составляют от первоначального квадрата? 11. Тогда .

  3. А сколько частей составляют ? 12, тогда .

  4. А сложить две дроби с одинаковыми знаменателями очень просто.

Эти задания можно дать при изучении темы «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями». А затем вернуться к ним же при объяснении темы «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями» в шестом классе.

В том же папирусе Ахмеса есть и такая задача: Разделить 7 хлебов между 8 людьми. Правда, знакомая задача? С некоторыми изменениями в условии эта задача нередко встречается в сборниках занимательных задач.

Первое, что сделают дети, приступив к решению задачи, они попытаются разделить 7 на 8. Поняв, что это невозможно, они начнут «резать» эти хлеба. И первое предложение будет разрезать каждых хлеб на восемь частей, и каждому человеку раздать по семь таких частей, то есть каждый должен будет получить по хлеба. Тогда необходимо будет дополнить условие задачи требованием наименьшего количества разрезов. А вот это уже не так и просто. Но как убеждает практика, долго ждать правильного ответа не придется. Можно проиллюстрировать.

4 хлеба разрежем пополам, 2 – на 4 части и 1 – на 8 частей, и каждый получит: половину, четверть и восьмую часть хлеба, по-другому это можно записать так:



.

Старейшим арифметическим памятником Киевской Руси является сочинение о календаре, написанное на славянском языке в 1136 году и названное «Учение им же ведати человеку числа всех лет», то есть «Наставление, как человеку познать счисление лет».

Автор сочинения – ученый монах Кирик Новгородец, о жизни которого известно немного. В календарном счете Кирик пользуется конкретными дробями, «дробными числами»: и так далее. По мнению В.П. Зубова, счет по и так далее оригинальное русское явление, не имеющее аналогов в календарных вычислениях других народов.

В Индии дроби записывались так же, как мы это делаем сейчас, но дробную черту не писали. Например, дробь писали так: 1, а под ней 2, а смешанное число писали так: сверху 3, под ней 2 и самое нижнее число 5. Иногда целую часть представляли в виде дроби со знаменателем 1, и тогда смешанное число записывалось в два столбика. В первом столбике 3, а под ним 1, во втором 2, а под ним 5.

Чертой для отделения числителя от знаменателя пользовались еще Герон Александрийский (I век), Диофант (III век). Затем она встречается у арабского ученого Хасеара (XII век) и у Леонардо Фибоначчи (XII-XIII века), после Леонардо Фибоначчи дробная черта стала использоваться повсеместно.

В русском языке слово «дробь» появилось в VIII веке, оно происходит от глагола «дробить» - разбивать, ломать на части. В первых учебниках математики (в VII веке) дроби так и назывались – «ломаные числа». Названия «числитель» и «знаменатель» ввел в XIII веке Максим Плануд – греческий монах, ученый – математик.

Подбирая задачи к этой теме нельзя обойти вниманием задачи на нахождение части от числа и числа по его части.


  1. Купивши комод за 36 рублей, я потом вынужден был продать его за цены. Сколько рублей я потерял при этой продаже? (15 рублей).

  2. Франция XVII-XVIII века. Трое хотят купить дом за 24000 ливров. Они условились, что первый даст половину, второй - , а третий оставшуюся часть. Сколько даст каждый? (12000, 8000 и 4000).

  3. Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого (1703 год). Некто оставил в наследство жене, дочери и трем сыновьям 48000 рублей и завещал жене всей суммы, а каждому из сыновей вдвое больше, чем дочери. Сколько досталось каждому из наследников? ( 6000 жене, 6000 дочери и по 12000 каждому сыну).

В книге А.В. Шевкина «Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах» на странице 67 приведено решение этой задачи из «Арифметики» Магницкого.

4. Из папируса Ахмеса (Египет, около 2000 года до нашей эры). Приходи пастух с 70 быками. Его спрашивают:

- Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада?

Пастух отвечает:

- Я привожу от скота. Сочти! Сколько быков в стаде? (Всего в стаде 315 быков).

5. Из книги Иоганна Хемелинга «Арифметико- поэтические и исторические часы развлечения» (1600 год). Пятая задача.



Когда Гераклом Герион

Был в жаркой битве сокрушен,

То победителю в награду

Быков отличных было стадо;

Быков на луг отправил он

И погрузился в крепкий сон.

Но сын Вулкана Какус смелый

К быкам, как вор, подполз умело

И сделал все, что он хотел:

Он отобрать себе успел

Одну шестнадцатую стада;

Теперь добычу спрятать надо.

В пещеру он быков загнал,

Куда свет дня не проникал,

И вход туда прикрыл надежно:

Найти быков здесь невозможно!

Когда Геракл пришел на луг,

Он насчитал сто двадцать штук

И не осталось в нем сомненья,

Что состоялось похищенье.

В нем сердце закипело злобой,

Быков он ищет, смотрит в оба,

И вдруг как бы из-под земли

Услышал, что ревут они.

К пещере бросился он в гневе,

Все разметал он в этом хлеве

И Какуса убил в мгновенье;

Быков добыл из заточенья.

И стадо он угнал скорей, -

Все получил царь Эвристей.

Теперь скажи мне, вычислитель,

Скольких быков злой похититель

Из стада увести сумел,

И сколько всех быков имел

Геракл могучий и отважный, -

Все это знать нам очень важно.

Как не скрывай проделок след,

А правда все ж увидит свет. (Всего было 128 быков, похитили 8).

Старинные задачи по теме «Обыкновенные дроби» можно найти лишь в единственном школьном учебнике, а именно «Арифметике» Никольского С.Н.


6. Десятичные дроби.

В этой теме интересным для учеников материалом станут сведения, посвященные ответу на два вопроса: «Кто изобрел десятичные дроби?» и «Как появилась запятая в десятичных дробях?»

Итак, кто же изобрел десятичные дроби? Десятичные дроби впервые были употреблены знаменитым узбекским ученым ал-Каши. В начале XV века в Средней Азии вблизи города Самарканда была создана большая обсерватория. В ней производились наблюдения за движением звезд, планет и Солнца, вычислялись дни праздников и так далее. В обсерватории работали лучшие ученые того времени. Этим учреждение и руководил ал-Каши.

Такого рода исторический материал может быть использован для приобщения учащихся пятого класса к самостоятельным выступлениям перед большой аудиторией. Учитель должен раздать заранее подготовленный им текст короткого выступления, на 3-4 минуты, тем ученикам, на которых он может положиться. Хотя сам учитель должен быть готов к любой неожиданности и мог бы продолжить рассказ.

Итак, в марте 1427 года ал-Каши закончил книгу «Ключ к арифметике». В первой главе второй книги автор пишет: «Астрономы применяют дроби, последовательными знаменателями которых являются число 60 и его степени; они называют их (доли) минутами, секундами, терциями, квартами и так далее. Мы ввели, по аналогии с правилом астрономов, дроби, в которых последовательными знаменателями являются число 10 и его степени. Мы называем степени (доли) десятыми, десятичными секундами, десятичными терциями, десятичными квартами и так далее».1

В последующих главах ал-Каши подробно излагает правила действий над десятичными дробями. Для отделения дробной части в десятичной дроби ал-Каши употребляет различные приемы: 1) пользуется чернилами разного цвета; 2) отделяет целую часть от дробной вертикальной чертой; 3) заключает ту и другую части числа в отдельные прямоугольники; 4) надписывал над каждой цифрой название разряда.

Труды ал-Каши долго не были известны европейским ученым. А потребность в упрощении записи и действий с дробями была большая. В Европе впервые подробно описал десятичные дроби талантливый фламандский инженер и ученый Симон Стевин (1548 – 1620).

Дроби 0,3752 и 8,937 он писал так: 3 1 7 2 5 3 2 4, 8 0 9 1 3 2 7 3, или 0,54 – 54 2. При выполнении действий с десятичными дробями Стевин применяет более разумный способ письма:

1 2 3 4

_ 2 3 7 5 7 5



5 9 7 3 9

1 7 7 8 3 6.

Особенно громоздкой оказывается запись умножения, например :

4 5 6


3 7 8

5 4 2

1 5 1 2


1 8 9 0

2 0 4 1 2

4 5 6 7 8

Хорошо было бы проиллюстрировать материал, показав копию страницы из книги Стевина. Такую копию можно найти в книге Депмана «История арифметики» на странице 245.

Одновременно со Стевином к идеи десятичных дробей пришел самоучка Иост Бюрги (1552-1632), идею которого воспринял Кеплер (1571-1640), изображавший в своих таблицах десятичные дроби уже проще. Например, дробь 0,567 он записывал следующим образом 0/576.

Запятую для отделения целой части числа от дробной ввел Непер (1550-1617) в 1617 году; он же предложил для этой цели точку, хотя ее употреблял уже Клавий в 1593 году. Позднее систематически точкой стал пользоваться Райт (1618).

Периодические десятичные дроби появились в научных трактатах с XVII века, а в учебниках – с XIX века.

Примеры простейших случаев обращения обыкновенной дроби в десятичную и обратно были уже у Апина (1527). Излагает впервые теорию вопроса Кавальери (1598? – 1647) в 1643 году, не рассматривая периодичности.

Большой трактат по алгебре Валлиса (1616-1703), изданный в 1676 году, содержит ряд предложений о периодических дробях. Валлис знает от обращения каких обыкновенных дробей получается периодическая чистая или смешанная дробь, сколько цифр содержит период, как превратить периодическую дробь в обыкновенную.

Школьное правило обращения чистых и смешанных периодических дробей в обыкновенные впервые излагается в руководстве Августа (1822). Термины «чистая» и «смешанная» периодическая дробь впервые встречаются в руководстве Копе(1836).

Большое количество задач с историческим содержанием по теме «Десятичные дроби» можно найти в книге братьев Перли «Москва и ее жители».

1) Московский Кремль XI века занимал 1,5 га. Площадь Кремля, построенного при Юрии Долгоруком, - на 7,5 га больше. Вычислите площадь нового Кремля.

2) Южная стена Кремля имеет длину 0,685 км, восточная – на 0,045 км длиннее. Вычислите длину восточного и западного участка стен, если известно, что протяженность стен Кремля 2,235 км.

3) Вычислите с точностью до 1 т массу грунта, который вынули землекопы при строительстве оборонительного рва на Красной площади, если известно, что ров был длиной 539,8м, глубиной – 12,8 м, шириной – 36,3 м, а масса 1 кубического метра грунта – 2,5 т.



Примечание. Сечение рва представляет собой трапецию, так как для прочности стен их делали с небольшим наклоном. Но для простоты вычислений примем, что стены рва были отвесными, а ров являлся прямоугольным параллелепипедом.

4) На шитье кафтанов для 4 статуй выдали 12 аршин сукна. Сколько метров сукна пошло на один кафтан, если известно, что 1 аршин =0,71 м?

5) «У поставца стояли в золотах» дьяки и ключники, число которых составляло 0,2 от числа стольников и чашников, прислуживавших царю. Сколько человек стояло у поставцов, если царю прислуживало 80 человек?

6) В XI веке на Руси было в 3,56 раза больше городов, чем в IX-X веках. В XII веке их было на 135 больше, чем в XI веке. В середине XIII века – на 47 больше, чем в XII веке. Сколько городов имелось на Руси в середине XIII века, если известно, что их в то время было больше, чем в IX-X веках на 246?

7) В середине XV века Русь платила Орде 7 тысяч рублей в год. После победы под Алексином дань сократили на 0,4 от этого количества. Вычислите величины дани после 1472 года.

В России теория десятичных дробей была впервые изложена в книге Леонтия Магницкого «Арифметика», изданной в 1703 году.


7. Проценты.

В этом разделе необходимо рассказать об истории возникновения процентов, а также об истории появления на свет знака для обозначения процентов.

Слово процент происходит от латинских слов pro centum, что буквально означает «за сотню» или « со ста». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.

Процентные операции широко практиковались в Вавилоне, о чем свидетельствуют дошедшие до нас таблицы процентов. Законодательство различных народов стремилось установить верхнюю границу допустимой процентной таксы. Банк Делосского храма (V-IV века до нашей эры) устанавливает норму в 10%, которая снижается до 6-8% с сумм, выдаваемых при обеспечении недвижимостями, и повышается до 20-33% с займов на торговые предприятия, связанные с морскими перевозками. Во II веке нормальная процентная такса была снижена до 7-8%. В 347 году до нашей эры в Риме нормальна процентная такса была определена в 5%, а в 341 году до нашей эры вовсе запрещено было брать проценты. Но это запрещение осталось только на бумаге. В первом веке до нашей эры являются нормальной таксой 4-6%, но и тогда она доходила иногда до 12%. Эта такса и была постановлением римского сената в 50 году до нашей эры признана максимально допустимой. Христианская церковь на словах осуждала отдачу капитала под проценты, но все же допускала «умеренный» процент в пользу заимодавца.

В период с XIII по XVI век все учебники уделяют процентным вычислениям большое внимание, так как торговые круги составляли очень большую часть потребителей этих учебников. Первые печатные процентные таблицы издал Симон Стевин (1584) и включил их в свою «Арифметику» (1585).

Формула , где - процентные деньги (интерес), - капитал, - процентная такса, - время, имеется уже в руководстве 1732 года; в школьном учебнике она впервые появляется в 1821 году.

Знак % возник в итальянских рукописях XV века.

Задач на проценты почти нет у Магницкого. Лишь в нескольких задачах упоминается о том, что «на 2 рубля за 8 лет взял росту 4 гривны» или «на 100 рублей притяжал в 12 месяцев 5 рублев». Объясняется это тем, что векселя в частном обиходе купцов были разрешены только в 1729 году при Петре II. Можно предложить следующие задачи:

1) Из «Арифметики» А.П. Киселева. Найти процентные деньги с капитала 7285 рублей, отданного в рост по 8% на 3,5 года.

2) В Верхних и Средних торговых рядах размещалось 1600 лавок. 25% из них находилось в Средних рядах. Сколько лавок находилось в Верхних торговых рядах?

3) В середине XVI века в столице жило 100 тысяч человек, что составляло 1% от числа всех подданных России. Причем число горожан составляло 2% населения страны. Сколько было горожан?

4) В середине XVI века в Москве проживало 100 тысяч жителей. В Пскове – 20% от этого количества. Сколько людей проживало в эти годы в Великом Новгороде, если известно, что число жителей Пскова составляло 80% от числа жителей Новгорода?

Можно и самим придумать задачи на основе исторического материала.

5) Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 50 сестерциев. Заимодавец поставил условия: «Ты вернешь мне в установленный срок 50 сестерциев и еще 20% от этой суммы». Сколько сестерциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу, возвращая долг?

6) Некий человек взял в долг у ростовщика 100 рублей. Между ними было заключено соглашение о том, что человек должен отдать деньги ровно через год, доплатив еще 80% от суммы долга. Но через 6 месяцев должник решил вернуть свой долг. Сколько рублей он вернет ростовщику?
8. Измерения величин.

Эта тема дает огромнейшие возможности для подачи исторических сведений. История возникновения единиц длины, площади, массы может стать прекрасным дополнением урока, оживляющим его, делающим более интересным и ценным в познавательном плане.

Человек в своей жизни не может обойтись без измерений. Без них он не смог бы сшить одежду, построить дом, сделать машину, сконструировать космический корабль. Человек научился измерять многие величины, такие как время, площадь, объем, масса, температура, длина.

Многие единицы длины, которыми пользовались наши предки, представляют собой измерения различных частей человеческого тела. Человек как бы всегда носит их с собой и может пользоваться ими в любых условиях. Рассмотрим наиболее распространенные старые меры, упоминания о которых часто встречаются в нашей речи.



ПЕРСТ- старинное название пальца, причем сначала так называли именно указательный палец, его ширина около 2 см. Отсюда происходит анатомический термин «двенадцатиперстная кишка». Длина этого органа 24-25 см.

ДЮЙМ- от голландского «большой палец»- равен ширине большого пальца или длине трех сухих зерен ячменя, взятых из средней части колоса. Это примерно 2,54 см. В настоящее время используется для измерения внутреннего диаметра труб, автомобильных шин, толщины досок и т.д.

ВЕРШОК- ширина двух пальцев руки, указательного и среднего, около 4,4 см.

ПЯДЬ, ПЯДЕНЬ- одна из самых старинных мер длины. Название происходит от древнерусского слова «пясть», т.е. кулак или кисть руки. Различают пядь малую- расстояние между концами вытянутых большого и указательного пальцев, что составляет около 18 см, и пядь великую- расстояние от конца вытянутого мизинца до конца большого пальца, 22-23 см.

ЛОКОТЬ- древнейшая мера длины, которой пользовались многие народы мира. Это расстояние от конца вытянутого среднего пальца или сжатого кулака до локтевого сгиба. Оно колебалось от 38 до 46 см. Как мера длины на Руси встречается с XI века. Измеряемая ткань удобно наматывалась на такой эталон длины; полный оборот ткани около него составлял двойной локоть. Локтями же египтяне измеряли подъем Нила.

ЛАДОНЬ- ширина кисти руки. Английский крестьянин и любитель лошадей определяет до сих пор высоту лошади обязательно в ладонях. Древняя книга- талмуд определяет: «То, что имеет три ладони в окружности, имеет одну ладонь ширины». Это значит, что во время составления этой книги считали, что длина окружности в 3 раза больше диаметра ее. В одном локте насчитывается не более семи ладоней.

АРШИН- одна из главных русских мер длины, использовалась с XVI в. Название происходит от персидского слова «арш»- локоть. Это длина всей вытянутой руки от плечевого сустава до концевой фаланги среднего пальца. В аршине 71 см. Но в разных губерниях России были свои единицы измерения длины, поэтому купцы, продавая свой товар, как правило, мерили его своим аршином, обманывая при этом своего покупателя. Чтобы исключить путаницу, был введен казенный аршин, т.е. эталон аршина, представлявший собой деревянную линейку, на концах которой клепались металлические наконечники с государственным клеймом.

ШАГ- средняя длина человеческого шага 71 см. Сохранились сведения об использовании шага для определения расстояния между городами в Древней Греции, Древнем Риме, Египте, Персии. Шаг как мера длины используется и в настоящее время. Существует даже специальный прибор шагомер, похожий на карманные часы, который автоматически отсчитывает число пройденных человеком шагов. Шагами отмерялось расстояние, на которое должны были сходиться противники во время дуэли. Так, с расстояния в 10 шагов на Черной речке под Петербургом 27 января 1837 года на дуэли Дантес стрелял в А.С. Пушкина и ранил его смертельно. В 1841 году 15 июля недалеко от Пятигорска Мартынов произвел свой роковой выстрел с расстояния 15 шагов и убил М.Ю. Лермонтова.

САЖЕНЬ- встречается с XI века. Название происходит от слова «сягать», т.е. доставать до чего-либо. Отсюда слово «недосягаемый»- о месте, куда невозможно добраться, о человеке, достоинства которого невозможно повторить. Различали два вида сажени: маховая и косая. Маховая сажень- расстояние между концами пальцев распростертых рук, это 3 аршина, или 213 см. Косая сажень- расстояние от первого пальца левой стопы до концевой фаланги среднего пальца поднятой вверх правой руки, т.е. около 248 см.

ВЕРСТА- от слова «вертеть». Первоначально расстояние от одного поворота плуга до другого во время пахоты, 1067 м. До XVIII века на Руси существовала и межевая верста в1000 саженей, или 2,13 км, для определения расстояния между населенными пунктами и для межевания (межа- граница земельных владений в виде узкой полосы). При Петре I была введена верста длиной в 500 саженей. На таком расстоянии друг от друга вдоль наиболее важных дорог ставили столбы, окрашенные в три цвета. Отсюда название «столбовая дорога» для хорошо известного наезженного пути. В начале XIX века вдоль основных дорог государства Российского появились черно- белые полосатые столбы, на которых отмечались расстояния в верстах. (У Пушкина: «Только версты полосаты попадаются одне.»)

ФУТ, СТУПНЯ- это средняя длина ступни человека (английское слово «фут»- ступня). Употребляется с древнейших времен многими народами. Длина фута была уточнена через установление длины меры шток, которая определена как «длина ступней 16 человек, выходящих от заутрени в воскресенье». По-видимому, имелось в виду при обмере ступней случайно взятых шестнадцати лиц разного роста получить более постоянную величину- среднюю длину ступни. В XVI веке математик Клавий определяет геометрический фут как ширину 64 ячменных зерен. Такое определение длины фута представляет большее уточнение этой меры, так как ширина зерна гораздо более постоянна и определена, чем длина ступни.

ЯРД- указом короля Генрихом I (1101 год) было определено расстояние от носа короля до конца среднего пальца вытянутой его руки. Длина ярда в настоящее время равна примерно 0,91 метра. Впрочем нужно отметить, что документальных свидетельств об упомянутом здесь происхождении ярда не сохранилось. По другому преданию, прообразом длины ярда явилась длина меча Генриха I.

Нельзя обойти вниманием другие старинные единицы измерения длины, веса, объема, площади.



МИЛЯ- 7 верст, или 7,468 км. Название происходит от латинского слова «милия», т.е. тысяча (шагов). Использовалась для измерения больших расстояний.

ДЕСЯТИНА- мера земельной площади. Введена в обиход с XVI века. В старину десятую часть доходов отдавали церкви. В России существовали различные виды десятины: казенная 80х30=2400 (квадратных саженей) или 60х40, круглая 60х60=3600 (квадратных саженей), сотенная 100х100=10000 (квадратных саженей).

ЛИНИЯ- ширина пшеничного зерна, примерно 2,54 мм. Эта мера использовалась для измерения диаметра горловины в стеклянной части керосиновой лампы, Этой единицей обозначают и калибр, т.е. диаметр канала в стволе огнестрельного оружия. Наибольший диаметр пули, снаряда тоже выражается в линиях или миллиметрах. Отсюда название «трехлинейная винтовка» для винтовки калибра 7,62 мм (2,54х3=7,62). Эта винтовка системы Мосина с конца XIX века была на вооружении русской армии. После некоторой модернизации она использовалась и в Советской Армии (наряду с автоматическим оружием) во время Великой Отечественной войны.

ФУНТ- от немецкого слова «пфунд» или от латинского «пондус», что означает вес, тяжесть, гиря; равен 409,5 грамма.

ПУД- мера массы, равная 40 фунтам, примерно 16 кг.

ГРАН- от латинского «гранум», т.е. зерно, крупинка, составляет 62,209 мг. Мера массы для лекарств и драгоценных камней. В обиходе слово «гран» употребляется для обозначения ничтожно малой величины.

КАРАТ- единица массы для драгоценных камней, а также золота в ювелирном деле. Родоначальниками нынешнего карата, которым пользуются ювелиры всех стран, были спелые засушенные зерна циратония- бобового растения влажных субтропиков. Арабы называли эти зерна киратами. Они сохраняют постоянную массу на долгие годы. С начала XX века установлен метрический карат, масса которого 0,2 грамма.

ЗОЛОТНИК- около 4,3 грамма. В X веке во времена киевского князя Владимира Святославича существовала монета, которую называли «златник». С конца XVI века золотник служит единицей массы драгоценных металлов и камней. До 1927 года в России была принята золотниковая система определения содержания драгоценных металлов (золота, серебра, платины) в сплаве, так называемая проба. Например, вещь 84-й пробы изготовленная из серебра, содержит 84 золотника, или 84х4,3=361,2 грамма чистого серебра в фунте сплава. В настоящее время проба выражается в метрической системе.

ДЮЖИНА- 12 штук. Некоторые однородные товары: столовые ножи, вилки, перья, ручки, карандаши и т.д. продавались дюжинами. С тех пор словом «дюжина» обозначают собрание неприметных, малозначительных личностей, похожих друг на друга. Наоборот, о необыкновенном, выдающемся человеке часто говорят «недюжинный».
  1   2   3   4   5

  • Элементы истории на уроках математики в пятом классе. Чтение и запись натуральных чисел.
  • Арифметические действия над натуральными числами (сложение, вычитание, умножение и деление).
  • 3. Квадрат и куб чисел.
  • Буквенные выражения и уравнения.
  • 5.Обыкновенные дроби.
  • Пятая задача.
  • 6. Десятичные дроби.
  • 7. Проценты.
  • 8. Измерения величин.