Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Главная страница


Решение проблемы формирования познавательных интересов связано с двумя главными задачами




Скачать 327.39 Kb.
Дата29.06.2017
Размер327.39 Kb.
ТипРешение
Тема опыта: «Исторический аспект как один из возможных видов стимуляции познавательного интереса учащихся к математике».

Автор материалов: Дибикова Г.И., учитель математики МОУ «СОШ д. Андег.

Познавательный интерес представляет собой совокупность важнейших для развития личности психических процессов. В интеллектуальной деятельности, протекающей под влиянием познавательного интереса, проявляется: активный поиск, логика, исследовательский подход, готовность к решению задач.

Эмоциональные проявления: эмоции удивления, чувство ожидания нового, чувство успеха.

Решение проблемы формирования познавательных интересов связано с двумя главными задачами:



1. Содействовать наиболее полноценному отражению в сознании учащихся явлений науки

2. Побуждать, поддерживать, подкреплять готовность учащихся овладевать знаниями.

Важным стимулом познавательного интереса, связанным с содержанием обучения, является исторический аспект школьных знаний. Познавательный интерес опирается на менее известный, овладевая которым ученики в большей мере осознают то, что даёт им школа, урок, учитель. Исторический подход в изучении учебных предметов приближает процесс учения к научному познанию.

В последние годы всё большую актуальность приобретают проблемы поиска эффективных средств повышения уровня интеллектуального развития учащихся, формирование их творческих способностей. Вопрос об использовании элементов истории в преподавании математики не новый. Ещё в конце 19-го и в начале 20 века он обсуждался на съездах преподавателей математики. Ему были посвящены в нашей стране и за рубежом специальные работы. В разное время учёные и методисты по-разному определяли цели введения элементов истории математики в преподавание. Однако общими почти всегда были и остаются следующие:


  1. Вводимый на уроках исторический материал усиливает творческую активность учащихся. Это происходит посредством включения их в поиск новых способов решения интересных исторических задач. Через образы жизни и деятельности великих математиков учитель имеет возможность познакомить учащихся с самим понятием творчества, с творчеством в науке, коснуться многих решающих нравственных категорий, связанных с этим процессом.

  2. С помощью исторических уходов в уроке, учитель может дать возможность ученикам самостоятельно приходить к формулировкам теорем, как бы вновь «открывая» их, побуждать в учениках желание самостоятельно выбирать любопытные факты истории, связанные с математическими открытиями. Это способствует учиться быть уверенным в своих возможностях и отстаивать свои взгляды и убеждения.

  3. Обсуждение исторических проблем математики способствует воспитанию учащихся терпимости к чужому мнению, уважению к себе через уважение к другим.

  4. Математическое развитие человека невозможно без повышения общей культуры. Исторический материал способен лучше, чем что-либо на уроке, воспрепятствовать однобокому развитию математических способностей.

  5. Исторический материал призван повышать уровень грамотности, расширять знания, кругозор учащихся, это одна из возможностей увеличить интеллектуальный ресурс учащихся, приучать их мыслить, быть способным быстро принять решение в жизненных ситуациях.

Ученики, оканчивающие школу, должны иметь представление о месте и роли математики в современной передовой культуре.

Нельзя считать, что основная цель преподавания вообще, и математики в частности, состоит в том, чтобы сообщить ученику как можно больше конкретных знаний, новых понятий, теорем. «Многознание уму не научает», - говорил Гераклит.

Многие математические теории при формальном изложении кажутся искусственными, оторванными от жизни, просто непонятными. Если же подойти к этим проблемам с позиции исторического развития, то станет виден их глубокий смысл, их естественность и необходимость.

Любая наука могла бы гордиться такой историей, как история математики, ибо она менее всего история ошибок. История математики – это не простой суммарный учёт возрастающего запаса математических знаний, но, что особенно характерно, отражение лежащего в основе этого возрастания явления преемственности. Преемственность не нарушали ни многовековые перерывы в развитии математической мысли, ни потрясавшие современников научные революции, ни войны.

История математики тысячами нитей связана с историей других наук, историей техники, историей искусства, она - существенная часть человеческой культуры. В ней ясно обозначен вклад в математику учёных – представителей народов Востока и Запада, древних и новых, больших и малых. Некоторые факты: начало греческой математики связывают с именем Фалеса и относят к 6 веку до н.э. Кажется невероятным, что всего лишь триста лет спустя были написаны Евклидовы «Начала», излагавшие добытые греками за столь короткий срок такие результаты, что в отношении геометрии к ним за последующие двадцать веков практически никто ничего не смог прибавить.

В отличие от христиан, арабы не уничтожали культуру покорённых народов. А усваивали её с рвением, которое делает им честь. Известно, что при заключении мира между Византией и багдадским халифатом в 9 веке основным пунктом договора была выдача императором Михаилом многочисленных греческих рукописей, в том числе экземпляра « Альмагеста» Птолемея, халифу аль - Мамуну. При этом халифе были переведены на арабский язык труды Аристотеля, Птолемея, Евклида, Гиппократа. Дальнейшие переводы этих авторов и их арабских комментаторов на латынь преобразили западную науку. Благодаря этим переводам стало возможным основывать высшие школы в Европе.

Для того чтобы неподвижные точки А, В, С евклидовых «Начал» впервые за 2000 лет сдвинуть с места, Декарту потребовались «только» две латинские буквы: х и у. Если переменная Декарта открыла перед математикой перспективу описания процессов, то производная Ньютона послужила ей совершенным инструментом для этого описания. Н.И. Лобачевский лишь чуть – чуть изменил формулировку евклидовой аксиомы о параллельных. Но это небольшое изменение явилось началом революции в геометрии.

От «Начал» Евклида шли все замыслы дальнейшего более совершенного обоснования геометрии. Экскурс в историческое прошлое оживляет курс математики, поднимает интерес к её изучению и убеждает учащихся в том, что математика, как и другие науки, является результатом работы многих великих учёных на протяжении тысячелетний.

С биографиями математиков ученики знакомятся на уроках или при проведении недели математики. Биографии математиков собраны в альбом. Ученики используют их так же при выпуске математических газет.

Основной материал геометрии давнего происхождения, для школьников каждая строчка в нём – открытие, новость. В любой аудитории возникает положительный эмоциональный эффект при сообщении исторических сведений. Дело здесь в свойственном человеческой природе уважении к прошлому, минувшему, которое, как говорил А.С.Пушкин, отличает образованность от дикости и которое иногда вызывает желание взглянуть на любимую науку через туман старины и поэзии.

Много значит выбор материала и способ его изложения. Современная школьная программа указывает на необходимость знакомства учеников с фактами из истории математики, но в программе нет конкретных указаний. Школьные учебники математики содержат минимум исторических сведений. Знакомство с историей развития математики означает продуманное, планомерное ознакомление на уроках с наиболее важными событиями из истории науки в органической связи с систематическим изучением программного материала. На уроке всегда трудно найти время, необходимое для ознакомления с историческим материалом. Но нельзя считать 3-5 минут ( не каждый урок!) для сообщения исторических фактов – потерянным временем, надо только преподносить исторический материал в тесной связи с изучаемым материалом. Если начать такую работу с 5 класса и проводить её систематически, то со временем исторический элемент станет для самих учащихся необходимой частью урока. Методическую трудность представляет решение вопроса об отборе конкретного материала по истории математики и о порядке его использования в том или другом классе. В 5 – 6 классах следует ограничиться некоторыми начальными сведениями из истории и обращать внимание учеников на элементарные вопросы развития счёта, математической терминологии, возникновения мер, создания способов измерения и простейших инструментов, развитие понятия числа, начальные сведения из истории уравнений. Есть немало вопросов из истории математики, к которым приходится возвращаться в курсе средней школы несколько раз. Нужно использовать для ознакомления с историей математики уроки закрепления, повторения.

Какая бы ни была форма сообщений сведений по истории математики – краткая беседа, экскурс, лаконичная справка, решение исторических задач, показ и разъяснение рисунка, использованное время нельзя считать потерянным, если только учитель сумеет исторический факт подать в тесной связи с излагаемым на уроке теоретическим материалом. В результате такой связи у школьников пробудится повышенный интерес к предмету и тем самым повысится эффективность их занятий.

Ученики должна знать: как возникло само слово «математика»?

Слово это возникло в Древней Греции примерно в 5 веке до н.э. Происходит оно от слова «матема», что означало «учение, знания, полученные через размышления».

Древние греки знали 4 матема.


  1. учение о числах (арифметика)

  2. теория музыки (гармония)

  3. учение о фигурах и измерениях (геометрия)

  4. астрономия и астрология

В то время среди греческих мыслителей наметилось два направления. Первое из них возглавляемое Пифагором, считало знания своего рода, священным писанием. Наука по Пифагору – дело тайное, предназначенное только для посвящённых. Никто не имеет права делиться своими открытиями с посторонними. Последователи этого направления назывались акузматиками (акузма – священное изречение).

Второе направление возглавлял древнегреческий учёный Гиппас Метапонтский (6 – 5 век до н.э). В противовес Пифагору последователи Гиппаса считали, что матема доступна всем, кто способен к продуктивным размышлениям. Они называли себя математиками. Победило второе направление.



Использование исторических материалов при изучении геометрии в основной школе
7 класс
На первом уроке геометрии вводная беседа: откуда произошло слово «геометрия»?

Из истории геометрии.

Более двух тысяч лет назад в Древней Греции впервые стали складываться и получили первоначальное развитие основные представления и обоснования науки геометрии. Этому периоду развития предшествовала многовековая деятельность сотен поколений наших предков. Ещё в глубокой древности, когда люди питались только тем, что им удавалось найти и собрать, им приходилось переходить с места на место. В связи с этим они приобретали некоторые представления о расстоянии. Вначале люди сравнивали расстояния по времени, в течение которого они их проходили. Например: река от леса находится на расстоянии дня ходьбы. С развитием человеческого общества появилась необходимость измерять длину с большей точностью. Человек стал сравнивать длину рукоятки или диаметр отверстия молотка со своей рукой или толщиной пальца. Остатки этого способа измерений также дошли до наших дней: примерно сто – двести лет назад грубую ткань измеряли локтем – длиной руки от локтя до среднего пальца. А фут, что в переводе на русский язык означает нога, употребляется как мера длины в некоторых странах и в настоящее время, например в Англии.

Изготавливая лук, человек изгибал прямой ствол тонкого дерева и связывал концы его тетивой – шнуром. Ствол, разгибаясь, натягивал шнур. Натянутый шнур стал впоследствии прообразом прямой линии. На шнур как прообраз прямой указывает в названии линии и льна, из волокон которого делали нити и шнуры. Лён на латинском языке называется «линум» (linum). Это слово почти полностью совпадает со словом «линия».

Переход первобытного общества от охоты к земледелию, а затем развитие земледелия, ремёсел и торговли вызвали практическую необходимость измерять расстояния и находить площади и объёмы разных фигур. Из истории известно, что примерно 4000 лет назад в долине реки Нил образовалось государство Египет. Правители этого государства - фараоны установили налоги за земельные участки на тех, кто ими пользовался. В связи с этим требовалось определять размеры площадей участков четырёхугольной и треугольной формы. Река Нил после дождей разливалась и часто меняла своё русло, смывая границы участков. Приходилось исчезнувшие после наводнения границы участков восстанавливать, а для этого вновь измерять их. Выполняли такую работу лица, которые должны были уметь измерять площади фигур. Появилась необходимость изучить приёмы измерения площадей. К этому времени и относят зарождение геометрии. Слово «геометрия» состоит из двух слов: «Ге», что обозначает в переводе на русский язык земля, и «метрео» - мерю. Значит, в переводе «геометрия» означает землемерие.

В своём дальнейшем развитии наука геометрия шагнула далеко за пределы землемерия и стала важным и большим разделом математики. В геометрии рассматриваются формы тел, изучают свойства фигур, их отношения и преобразования.

Как наука геометрия оформилась к 3 в. до нашей эры благодаря трудам ряда греческих математиков и философов. Наибольшая заслуга в этом принадлежит Евклиду, жившему в Александрии. Он, опираясь на исследования и выводы своих предшественников – Фалеса, Пифагора, Гиппократа, Евдокса и других древнегреческих учёных, привёл в систему накопленные по геометрии сведения, дополнил их своими исследованиями и открытиями, а затем последовательно изложил в 13 книгах, назвав их «Начала». Его труд на протяжении свыше 2000 лет служил учебным пособием по геометрии. Его книги изучали все великие математики.

Высказывания о геометрии: «Вдохновение нужно в поэзии, как в геометрии». (Пушкин).

«Малой она родилась, но, взрослея, росла с каждым часом. Ныне, идя по земле, сотрясает вокруг целый мир» (Гомер)».

«Не знающий геометрию да не войдёт в академию» (Платон) и другие, разъясняя их смысл.



Геометрические инструменты.

К древнейшим инструментам относятся – циркуль и линейка. Слово «линейка» происходит от арабского «аль – идада» - линейка. Употребление линейки берёт своё начало с незапамятных времён. «Циркуль» - от латинского слова circulus –круг. Циркуль был изобретён значительно позже в Древней Греции.


П.1

Точка.

«Точка есть то, что не имеет части» - Евклид.

«Точка, движимая с бесконечной скоростью моментально образует линию» - Лейбниц.

Точка – один из любимых знаков древности, писцы расчленяли им свои тексты. Точка – одно из уцелевших слов, которыми издавна пользовались славяне. Мир точек многолик и многообразен. И будь создан музей для них, то в нём предстали бы во всей красе и точки - слова, и точки – знаки, и точки – вещи. Никто не пробовал классифицировать точки, а зря. Есть точка торговая и точка огневая, точка отправления и точка отправная, точка кипения и точка замерзания, точка роста и мёртвая точка, точка росы и критическая точка пара, собственная точка зрения, точка перегиба.

У математиков любая точка незрима и невесома, у механиков она уже имеет вес, а точка триангуляционная у геодезистов обладает не только весом, но и видна за десятки километров. Без точки человеку было бы неудобно ни умножать, ни делить; без неё не было бы двоеточия и многоточия, ни вопросительного, ни восклицательного знаков. Без точки нельзя было создать азбуку Морзе; модель Солнечной системы. Не будь точки, как существовали бы задачники по математике, в основе которых заложены точки А, В и С, откуда бесконечно идут, летят поезда, самолёты. Точка – родоначальник множества прекрасных вещей и открытий. Именно с точки начинается простейший рисунок, при создании которого мы приговариваем: «Точка, точка, запятая…»

С точки начинается атом, электрон. Точка – всему начало и всему венец. С точки начинается запятая и ей заканчивается любой капитальный труд. Любая точка на Земле имеет свою долготу и широту. Точка на карте – город или посёлок; точка в небе – далёкая звезда. И поэзию пленила математическая точка.


« Я – невидимка. В том вся суть моя,

что в представлении дана лишь я…

Представишь ты себе меня – я вот!

И без меня ничто здесь не пройдёт.

Во всех вещах могу я воплотиться,

и всё, что есть, всё для меня – граница».

В.Литцман.

-------------------------------------------------- Прямая.
В современном городе должна господствовать прямая линия. Жилые дома, водопроводные линии, шоссе, тротуары – всё должно строиться по прямой. Прямая линия облагораживает город. Кривая улица – дорога ослов, прямая – дорога людей. Прямая – кротчайшая линия между двумя точками. «Линия» - от латинского слова Linea – лён, льняная нить, шнур, верёвка. Шнуром или верёвкой пользовались для измерений римские землемеры.
П.9 ∟ Измерение углов.

Знак угла ввёл в 17 веке французский математик Эригон.

«Транспортир» происходит от латинского слова transportare, в переводе – переносить, перекладывать. Градусное измерение, деление окружности на 360 равных частей, было принято в валлонской астрономии. Первоначально вавилонский год насчитывал 360 дней, к которым египтяне прибавили 5 каникулярных дней. Деление градуса на 60 минут, минуты на 60 секунд связано с шестидесятеричной вавилонской нумерацией.

Прямой угол – одно из древних геометрических понятий, оно связано с образом вертикального положения человека и многих предметов окружающей среды.



П.11 Смежные и вертикальные углы.

О том, что сумма смежных углов равна двум прямым углам, было на практике много раз проверено и установлено ещё древними вавилонянами и египтянами.

«Вертикальные» - от латинского verticalis – вершинный.

Согласно Евдему Родосскому (4 век до н.э.), написавшему первую в мире историю математики, равенство вертикальных углов было впервые доказано первым видным древнегреческим философом и математиком Фалесом Милетским (7 – 6 вв. до н.э.)

Термины «развёрнутый» и «полный» угол были введены лишь в 19 веке.
П.14 ∆ Треугольник.

«Фигура» - латинское слово, означающее образ, вид, начертание. Этот термин вошёл в употребление, начиная с 12 века. До этого наряду с ним употреблялось для того же понятия и другое латинское слово – «форма», также означающее наружный вид, внешнее очертание предмета. Самая простая замкнутая прямолинейная фигура – треугольник. Свойства этой фигуры человек узнал ещё в глубокой древности. Эта фигура всегда имела широкое применение в практической деятельности. В строительном искусстве использовали свойство жёсткости треугольника для укрепления различных строений, деталей. Изображения треугольников встречаются в старинных индийских книгах. Треугольники изучали математики: Фалес, Пифагор. Учение о них было написано в книге Евклида «Начала». Понятие о треугольнике исторически развивалось, по-видимому, так: сначала рассматривались лишь правильные, затем равнобедренные и, наконец, разносторонние треугольники. В 15 – 16 веках появилось огромное количество исследований свойств треугольника. Эти исследования составили большой раздел планиметрии, получивший название «Новая геометрия треугольника».

Известно, что Наполеон иногда свободное время посвящал занятиям математикой. Существуют внешние и внутренние треугольники Наполеона. Открытия в геометрии треугольника были и в 20 веке. Так в 1904 году американский математик Ф. Морли доказал теорему о трисектрисы угла.
П. 15. 19, 20. Признаки равенства треугольников.

∆═∆


Они имели важное значение в геометрии, так как доказательство многих теорем, решение задач сводится к доказательству равенства тех или иных треугольников. Доказательством признаков занимались ещё пифагорейцы. Большая заслуга принадлежала Фалесу Милетскому.(около 624 – 548 до н.э.). Слово «теорема» - греческого происхождения. «Терео» - рассматриваю, обдумываю.

Все формулировки теорем надо хорошо учить. Каждое слово имеет смысл. Была такая история:

«Это произошло в те времена, когда на улицах городов не было освещения. Как – то ночью мэр города столкнулся с горожанином. Это было больно. Мэр отдал приказ, чтобы никто не выходил ночью на улицу без фонаря. Следующей ночью мэр опять столкнулся с тем же горожанином. Мэр спросил его - «Вы не читали моего приказа?» горожанин ответил – «Читал, вот мой фонарь». Мэр – «Но в фонаре у вас ничего нет!». Горожанин – «В приказе об этом не упоминалось». Наутро появился новый приказ, обязывающий вставлять свечу в фонарь при выходе ночью на улицу. Вечером мэр опять налетел на того же человека. «Где фонарь?!» - закричал мэр. «Вот он». «Но в нём нет свечи!» «Нет, есть. Вот она». «Но она не зажжена!» «В приказе этого нет». И мэру пришлось издать ещё один приказ, обязывающий граждан зажигать свечи в фонарях при выходе ночью на улицу».

Те ученики, которые не могут своими словами передать точный смысл теоремы, формулировку надо учить наизусть.


П.17 Медианы, биссектрисы, высоты.

«Перпендикуляр» - от латинского слова, что в переводе означает отвесный. Термин был образован в средние века.

«Биссектриса» - от латинских слов bis (дважды, надвое) и sectrix (секущая).

Термин «медиана» происходит от латинского слова mediana – «средняя» (линия).


П.18. Равнобедренный треугольник.

Он обладает рядом геометрических свойств, которые привлекали к себе внимание ещё в древности. На практике часто применяли свойство медианы равнобедренного треугольника. ТО, что углы при основании равны, было известно ещё древним вавилонянам 4000 лет тому назад.



Равносторонний треугольник:

Я слишком далеко зашёл в любви к порядку,

Увы, мне больше не о чем мечтать.

п. 21 Окружность.

Самая простая из кривых линий. Одна из древнейших геометрических фигур. Философы древности придавали ей большое значение. Сотни лет астрономы считали, что планеты двигаются по окружностям. Эту ошибку в 17 веке отвергли Коперник, Галилей, Кеплер, Ньютон. Древние индийцы считали самым важным элементом окружности – радиус. Слово это латинское и означает в переводе: луч, спица в колесе. В древности не было этого термина. Говорили просто «прямая из центра». Слово «полудиаметр» встречается в 11 веке. Термин «радиус» впервые встречается у французского математика Рамуса в 1569 году, затем у Виета. Общепринятым становится в конце 17 века.

Фалес открыл, что диаметр делит окружность на две равные части. «Диаметр» - от греческого «диаметрос» - поперечник, насквозь измеряющий. («диа» - между, сквозь). «Хорда» - от греческого «корде» - струна, тетива. Термин «хорда» был введён в современном смысле европейскими учёными 12 века.

«Центр» - от латинского centrum – транскрипция древнегреческого слова «кентрон», означавшего колющее орудие, которым в древности подгоняли животных в упряжке, а также острие ножки циркуля.

То, что касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, было ещё известно Архипу Тарентскому (400 г. до н.э.).



П.23. Задачи на построение.

Простейшие задачи возникли в глубокой древности при выполнении измерений участков земли и при выполнении работ по строительству разных сооружений. К первым из таких задач относятся построение отрезка, равного данному; деление отрезков и углов на две равные части; построение перпендикуляра к прямой через данную точку.

За время с 7 до 3 в. до н.э. греческими учёными был накоплен и обработан обильный материал по геометрии и в частности о задачах на построение. Древнегреческие учёные считали построение геометрическим только в том случае, если оно было выполнено с помощью линейки без делений и циркуля без употребления других приборов.

Пифагор (6 век до н.э.) открыл способы построения правильных пятиугольника и десятиугольника. В разработке методов решения задач на построение большой вклад сделал Платон (5 век до н.э.) и его ученики. Со времён Платона стали различать 4 этапа в решении задач на построение: анализ, построение, доказательство и исследование.

Способ деления отрезка пополам изложен в комментарии Прокла (410 485 г.), который приписывает его греческому математику Аполлонию (3 век до н.э.).

Большое место рассмотрению задач на построение отведено в знаменитых «Началах» Евклида. В его 13 книгах рассмотрено большое количество задач на построение, многие из которых рассматривают в школе и в настоящее время.

В первую книгу включено построение треугольников. В его 4 книге - построение правильных четырёхугольника, пятиугольника, шестиугольника, пятнадцатиугольника.

Особенно много труда вызвала задача деления угла на три равных части, задача о трисекции угла. В настоящее время доказано, что эту задачу решить только циркулем и линейкой нельзя.



П. 24. Параллельные прямые. =

В древних, дошедших до нас памятниках культуры – керамических сосудах, каменных плитках, папирусах – встречаются разные геометрические фигуры: точка, прямая, кривая и ломаные, треугольники и многоугольники.

Обозначение прямых и отрезков буквами, а также термин «параллельные» прямые появились в Древней Греции. В переводе с греческого parallelos означает «рядом идущий». Термин стал употребляться 2500 лет тому назад в школе Пифагора. В 3 веке н.э. древнегреческий математик Папп пользовался для обозначения параллельности знаком =. После того, как англичанин Рекорд ввёл знак равенства =, знак параллельности преобразовали, изменив направление чёрточек. С 18 века его стали писать так: ||.
П.27. Об аксиомах геометрии.

В переводе на русский язык слово «аксиома» означает предложение, достойное уважения, бесспорное. Аксиомы принимают без доказательства, так как для их доказательства ещё нет никакого исходного материала. Они выступают как исходные положения. В настоящее время в науке считают: аксиома – предложение, которое принимают без доказательств как основное, первоначальное, а все последующие положения (теоремы) доказывают, ссылаясь на аксиомы. Ряд аксиом принимают за фундамент, на котором строят теорию. Анализ систем аксиом, предложенных Евклидом, продолжался столетия. Эта работа многих геометров была завершена Д.Гильбертом, который создал полную и непротиворечивую систему аксиом Евклида. Однако и эту систему аксиом нельзя считать законченной и совершенной. С развитием геометрии отдельные аксиомы и сама система совершенствуются и изменяются.



П.28. Аксиома параллельных прямых.
В развитии геометрии аксиома параллельности Евклида сыграла огромную роль. В его книге «Начала» она называлась пятым постулатом. Формулировка его весьма сложна. Поэтому его заменяют эквивалентной ему аксиомой: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Аксиома не может быть подтверждена или опровергнута опытом. Поэтому в течение двух тысячелетий после Евклида многие математики пытались доказать это свойство, но все их усилия оказались безуспешными. В конце 18 века у некоторых возникла мысль о невозможности доказать пятый постулат. Решение этого вопроса было найдено великим русским математиком Николаем Лобачевским. (1792 – 1856). В 1826 году Н. Лобачевский, профессор Казанского университета, доказал, что пятый постулат нельзя логически вывести из других евклидовых аксиом. Положив в основу геометрии иную аксиому, он создал новую научную геометрическую систему, которая была названа неевклидовой геометрией Лобачевского.

К аналогичным выводам пришёл венгерский математик Бойяи (1802 – 1860), но он свои результаты опубликовал позже, в 1832 году. В рукописях немецкого математика К.Гаусса (1777 – 1855) высказывались идеи, близкие к идеям Лобачевского и Бойяи. Однако он, опасаясь критики, не решился их обнародовать.

Открытие русским математиком новой геометрии оказало огромное влияние на развитие науки. Геометрия Лобачевского широко используется в естествознании. Современной наукой установлено, что евклидова геометрия лишь приближённо описывает окружающее пространство, а в космических масштабах она имеет заметное отличие от геометрии реального пространства.

Геометрия Лобачевского и геометрия Евклида не противоречат друг другу.


П.30. ▼ Теорема о сумме углов треугольника. ▲
Свойство суммы углов треугольника было установлено ещё в Древнем Египте, доказали его позднее – в 5 веке до н.э. пифагорейцы. Теорема о сумме углов треугольника имеет несколько способов доказательства. Этой теоремой занимались Пифагор, Евклид, Прокл. Между прочим, у Евклида этой теоремы нет.
П.33. Неравенство треугольника. ▲

Задача.


Однажды профессор поведал своим ученикам о том, что его соседу предложили садовый участок в виде треугольника со сторонами 55; 62; 117 метров. Сколько соседу придётся заплатить за него, если один кв. метр стоит 10 долларов?

Ответ: такого треугольника не существует. Профессор проверял своих учеников. 55 62 = 117.






П.34. Свойства прямоугольных треугольников.
В папирусе Ахмеса наряду с равнобедренным часто встречается прямоугольный треугольник. Он занимает почётное место в вавилонской геометрии. Землемеры и сейчас прибегают к прямоугольному треугольнику для определения расстояний и т.д.

Термин «гипотенуза» происходит от греческого слова «ипотейнуза», означающего «тянущая под чем-либо», «стягивающая». Слово берёт начало от образа древнеегипетских арф, на которых струны натягивались на концах двух взаимно-перпендикулярных подставок.

ермин «катет» происходит от греческого «катетос», которое означало вначале «отвес», «перпендикуляр». В средние века словом «катет» означали высоту прямоугольного треугольника.

Евклид употребляет выражения: «стороны, заключающие прямой угол» - для катетов и «сторона, стягивающая прямой угол» - для гипотенузы.


8 класс.

П. 39-42. Многоугольник. Параллелограмм.


В древних египетских и вавилонских математических документах встречались такие четырёхугольники: квадраты, прямоугольники, равнобедренные и прямоугольные трапеции.

Термин «параллелограмм» греческого происхождения и, согласно Проклу, был введён Евклидом. Это понятие было известно ещё и пифагорейцам. Уже в «Началах» Евклида доказывались свойства параллелограмма. Евклид не рассматривал ни прямоугольника, ни ромба. Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появилась в учебниках лишь в 17 веке.

Термин «диагональ» - от сочетания двух греческих слов «диа» (через) и «гониос» (угол) то есть прямая проходящая через вершины углов. Большинство древнегреческих математиков пользовались вместо слова «диагональ» словом «диаметр», так как первые геометры мыслили прямоугольник вписанным в круг.

П.44. Трапеция.
Это греческое слово, означавшее в древности «столик ». По- гречески «трапедзион» означает обеденный стол, трапеза, трапезная. Это слово впервые в нашем смысле встречается у древнегреческого математика Посидония, 1 век.

П.46. Ромб. ◊ Квадрат. ■.
Слово «ромб» тоже греческого происхождения. Оно в древности означало вращающее тело, веретено, юлу. Ромб связывали первоначально с сечением, проведённым в обмотанном веретене.

«Квадрат» - от латинского – сделать четырёхугольник. Четырёхугольник, перевод с греческого «тетрагонон».

Э. Гильвин. Из книги «Евклидовы мотивы».
О ромбе:

Квадрат обмяк, устал,

Дал за углы себя схватить и ромбом стал.

И загрустил:

А вдруг он промахнулся,

А вдруг бы, жизнь другим путём пошла,

Подставь он два других угла?...
О квадрате.

Любая из твоих сторон,

На трёх соседок глядя,

Себя в них видит и собой любуется.

Но кто же с кем подружится из них?

Те, что пересекаются?

Иль те, что параллельны?

А тут ещё углы,

И в них сердито тычется пространство,

А у тебя своих забот хватает…

۞ П.47 Осевая и центральные симметрии. ۩
Слово «симметрия» - греческого происхождения. «Сим» - с, «метрон» - мера. В буквальном переводе означает «соразмерность». В архитектуре и искусстве оно применяется также в смысле гармоничности, равновесия, красоты.

Издавна человека, познававшего в ходе трудовой деятельности явления природы, поражала форма некоторых предметов и существ: очертания листьев на деревьях, расположение лепестков на цветах, виды плодов и бабочек, спирали раковин, строение кристаллов и т.д.

Строение человеческого тела тоже симметрично.

Зачатки учения о симметричности относятся к глубокой древности, о чём говорят разные геометрические орнаменты, сохранившиеся от той эпохи на каменных и гранитных плитках и сосудах. Многовековые наблюдения человека над симметричными фигурами среди минералов, растений и животных, его долголетний опыт применения симметрии в строительстве и искусстве привели к созданию учения о симметрии. Её изучали и применяли архитекторы и художники эпохи Возрождения, в том числе выдающиеся итальянские живописцы Леонардо да Винчи и Рафаэль; ею занимались учёные нового времени – Луи Пастер (1822 – 1895), Пьер и Жак Кюри и другие. В геометрию элементы учения о симметрии ввёл французский математик А.Лежандр (1752 – 1833).

В настоящее время учение о симметрии лежит в основе кристаллографии и находит широкое применение в науке, технике и промышленности.

К. Антонович.

«Симметрия! Я гимн тебе пою!

Тебя повсюду в мире узнаю.

Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке,

Ты в ёлочке, что у лесной дорожки.

С тобою в дружбе и тюльпан, и роза,

И снежный рой – творение мороза».

На симметричные фигуры ученики делают разные рисунки.

Глава 6. Площадь. S
Ещё 4 – 5 тысяч лет назад вавилоняне умели находить площадь прямоугольника, трапеции в квадратных единицах. Квадрат всегда служил эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность. Квадраты легко строить, ими можно заполнять плоскость без пробелов. (В Китае мерой площади был прямоугольник). Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приёмами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника, трапеции: основание треугольника делилось пополам и умножалось на высоту; для трапеции – сумма параллельных сторон делилась и умножалась на высоту.

В своих «Началах» Евклид не употреблял слово «площадь». Евклид занимался вопросами превращения одних фигур в другие, или равновеликие. Потребность измерения расстояний и площадей привела к созданию на Руси рукописей геометрического содержания чисто практического характера. Многие рукописи не дошли до нас. В сохранившихся рукописях можно найти способы нахождения площадей у разных фигур, но в них есть ошибки. Но мастера при строительстве обладали довольно основательными знаниями по геометрии. Без таких знаний сооружение прекрасных зданий, как храм Василия Блаженного в Москве, вряд ли можно было совершить.

Формула Герона. Герон Александрийский. Годы его жизни точно не установлены 3 век до н.э или 1 век н.э? Хотя формула и носит название Герона, но на самом деле она была установлена ранее – Архимедом. Интересна задача Герона: Найти все треугольники с целочисленными сторонами, площади которых тоже выражаются целыми числами. Среди прямоугольных треугольников – это все треугольники Пифагора со сторонами 3,4,и5; 5,12 и 13; 7, 24 и 25 и т.д. Частные случаи решения известны, например: 7, 15 и 20; 9, 10 и 17; 14, 13 и 15 и другие.
П.54. Теорема Пифагора. □
Прокл в своём комментарии к «Началам» Евклида пишет относительно предложения о том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, следующее: «Если слушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придётся сказать, что эта теорема восходит к Пифагору. Рассказывают, что в честь этого открытия он принёс в жертву быка». То же подтверждает другой греческий историк – Плутарх (1 век). На основе этих данных долгое время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна и называли её поэтому «теорема Пифагора». Однако установлено, что эта важнейшая теорема встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора.

О том, что треугольник со сторонами 3; 4; и 5 есть прямоугольный, знали за 2000 лет до н.э. египтяне, которые пользовались этим отношением для построения прямых углов при строительстве. В Китае предложение о квадрате гипотенузы было известно за 500 лет до Пифагора. Эта теорема была известна и в Древней Индии.

Знакомство с биографией Пифагора, с пифагоровыми числами.

Несколько старинных задач на теорему Пифагора.



  1. Задача арабского математика, 11 век.

«На обоих берегах реки растёт по пальме, одна против другой. Высота одной – 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?»

Ответ: 20 локтей. (Локоть равен расстоянию от локтя до конца среднего пальца)




  1. Задача индийского учёного Бхаскара, 1114 год.

«На берегу ручья, ширина которого 4 фута, рос тополь. Порыв ветра сломил его на высоте 3 футов от земли так, что верхний конец его коснулся другого берега ручья (ствол направлен перпендикулярен течению реки). Найти высоту тополя.


  1. Из древней рукописи.

«Найти высоту треугольника, основание которого 15, а боковые стороны 14 и 13».

Теорема Пифагора издавна широко применялась в разных областях науки, техники, жизни. О ней писали римский архитектор Витрувий, греческий писатель Плутарх, греческий учёный Диоген и многие другие. Легенда о том, что в честь открытия своего Пифагор принёс в жертву быка или сто быков, служила поводом для юмора в рассказах, стихах. Немецкий писатель Шамиссо, 19 век, писал:


«Пребудет вечной истина, как скоро

Её познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора,

Верна, как и в его далёкий век.

Обильно было жертвоприношенье

Богам от Пифагора. Сто быков

Он отдал на закланье и сожженье

За света луч, пришедший с облаков.

Поэтому всегда с тех самых пор,

Чуть истина рождается на свет,

Быки ревут, её почуя, вслед.

Они не в силах свету помешать,

А могут лишь, закрыв глаза, дрожать

От страха, что вселил в них Пифагор».


На протяжении веков были даны многочисленные разные доказательства теоремы Пифагора. Доказательство считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось иногда – ослиный мост или бегство убогих, так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьёзной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть без понимания и прозванные поэтому «ослами», не были в состоянии преодолеть т. Пифагора, служившую для них вроде непроходимого моста. Чертёж, сопровождающий доказательство, ученики называли ветряной мельницей. Ученики составляли стишки вроде: Пифагоровы штаны во все стороны равны, рисовали карикатуры.

Как помогла теорема Пифагора? Случай из следственной практики:

Получив сообщение о краже, следователь выехал на место происшествия. Заявитель утверждал, что преступник проник в помещение через окно. Осмотр показал, что подоконник находится на расстоянии 124 см от земли. Поверхность Земли на расстоянии 180 см от стены покрыта густой порослью, не имевшей повреждений. Возникло предположение о том, что преступник, проникая через окно, как-то преодолел расстояние между наружным краем поросли и подоконником. С помощью теоремы Пифагора вычислили это расстояние 219 см. Ясно, что преодолеть самому его нельзя без лестницы, но её не нашли. Следователь выдвинул версию об инсценировке кражи, что и подтвердилось. Так помогла геометрия.
Глава 7. Подобие.
Идея отношения и пропорции зародилась в глубокой древности. Одинаковые по форме, но разные по величине фигуры встречаются в вавилонских и египетских памятниках. В сохранившейся погребальной камере фараона Рамсеса 2 имеется стена, покрытая сетью квадратиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров. Учение о подобии фигур было создано в Древней Греции в 5-4 в. до н.э. трудами Гиппократа, Архита, Евдокса. Оно изложено в 6 книгах «Начал» Евклида. Символ, обозначающий подобие фигур, есть не что иное, как повёрнутая латинская буква S – первая буква в слове similis, что в переводе означает подобие. Свойства подобия, установленные из опыта, издавна широко использовались на практике при составлении планов, карт, при выполнении архитектурных чертежей, чертежей различных деталей машин и механизмов.

В конце 19 века возникла следующая инженерная проблема: во многих отраслях промышленности требовалось изготовлять фотоснимки всё более и более крупных объектов. Сначала инженерная мысль пошла по пути увеличения размеров фотокамер. Так, по заказу хозяев известных американских заводов Пульмана, специально для съёмки крупногабаритных железнодорожных вагонов в 1899 году была построена фотокамера – гигант с пластинками 2,5 на 3 метра. Вес камеры был 635 кг, обслуживали камеру 15 человек, на место съёмки её доставили в спецвагоне. Огромные размеры этого фотоаппарата, большие неудобства её эксплуатации убедили инженеров в бесперспективности «гигантомании». Вскоре был изобретён очень простой и доступный аппарат – фотоувеличитель. Он основан на элементарной геометрической идее – подобии. Так геометрия помогла преодолеть серьёзную техническую трудность.


П.66. Синус. Косинус. Тангенс.
«Тригонометрия» - от греческих слов «тригон» - треугольник и «метрео» - измеряю – означает измерение треугольников. Слово «тригонометрия» впервые встречается в 1505 году в заглавии книги немецкого математика Питискуса. Возникновение тригонометрии было связано с развитием астрономии и географии. Расстояние от Земли до планет нельзя измерить непосредственно и учёные стали разрабатывать приёмы нахождения взаимосвязей между сторонами и углами треугольника, у которого две вершины расположены на Земле, а третью представляет планета или звезда. Такие соотношения можно вывести, изучая разные треугольники и их свойства. Вот почему астрономические вычисления привели к решению треугольника. Зачатки тригонометрии обнаружены в документах Древнего Вавилона, где астрономия достигла значительного развития, учёные составили одну из первых карт звёздного неба.

Индийские учёные положили начало учению о тригонометрических величинах. Синус и косинус встречаются у них уже в 4-5 веках. Заменив хорду синусом, индийцы вначале называли синус «ардхаджива», то есть половина хорды. (джива – хорда, тетива лука), а позже просто «джива». Арабскими математиками в 9 веке слово джива было заменено на арабское слово джайб – выпуклость. При переводе арабских математических текстов в 12 веке это слово было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна). Обозначения sin x и (другие) ввёл Эйлер в 1736 году, cos x – в 1748 году, tg x – в 1753 году.

Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения complementy sinus, т.е. «дополнительный синус». (cosx = sin(90 – x)). Термин «косинус» встречается в 1620 году в работах английского астронома Гунтера.

Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины реки. Тангенс введён в 10 веке арабским математиком Абу-л-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским учёным, и тангенсы были заново открыты в 14 веке, сначала английским учёным Бравердином, а позднее немецким математиком, астрономом Региомонтаном. (1467 г.). Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 году. Это слово переводится как «касающийся».

Большие заслуги в области тригонометрии имеют Коперник, Виет, Эйлер.

Первые тригонометрические таблицы встречаются во 2 веке до н.э. Составитель их Гиппарх. В разных странах разные учёные составляли подобные таблицы различной степени точности. Наиболее точные для своего времени составил в 15 веке узбекский учёный ал-Каши. Первые тригонометрические таблицы на русском языке были изданы при участии Магницкого, 1703 год.



П.71. Теорема о вписанном угле.۞
Тот факт, что опирающийся на диаметр вписанный угол – прямой, был известен вавилонянам ещё 4000 лет назад. Теорема о вписанном угле была известна в 5 веке до н.э, уже тогда геометрия достигла высокого развития.

9 класс.

П.76. Понятие вектора. ← → ↓
Интерес к векторам появился у математиков в 19 веке в связи с потребностью механики и физики. Однако истоки исчисления с направленными отрезками возникли в далёком прошлом. В Древней Греции пифагорейцы, открыв иррациональные числа, которые нельзя выразить дробями, не решились ввести более широкое толкование числа. Они попытались свести вопросы арифметики и алгебры к решению задач геометрическим путём. Было положено начало геометрической теории отношений Евдокса (400 г до н.э.), а позднее «геометрической алгебре». Геометрические исчисления сыграли большую роль для развития теории векторов. В 1587 году был опубликован трактат фламандского учёного Стевина «Начала статики». В ней он рассматривал сложение сил, действующих под углом 90 градусов, и пришёл к выводу о необходимости использования «параллелограмма сил». Для обозначения сил он ввёл стрелки.

В 1803 году француз Пуансо разработал теорию векторов. «Вектор» - от латинского слова vector, что означает несущий или ведущий, влекущий, переносящий.



П.85. Средняя линия трапеции.
Предложение о том, что средняя линия трапеции равна полусумме её оснований, было известно древним египтянам, оно есть в папирусе Ахмеса, и есть на стенах храма Эдфу в Верхнем Египте. Это свойство так же было известно вавилонским землемерам, оно содержится в трудах Герона Александрийского.
П.97, 98. Теоремы синусов и косинусов.
Они применяются при решении треугольников. Теорема косинусов была доказана геометрически ещё в «Началах» Евклида. Александрийские математики Герон (1 век), Папп (3 век), учёные Индии (Брахмагупта, Бхаскара), стран Ближнего и Среднего Востока пользовались формулами, близкими к формулам нашего учебника, но впервые т. косинусов была чётко сформулирована словесно в 16 веке французским математиком Ф. Виетом. Современный вид т. косинусов принимает в 1801 году у француза Карно. Лагранж в 1799 году из т. косинусов вывел теорему синусов, а француз Коши выводит т. косинусов из т. синусов.

Учёные Индии сводили решение любых треугольников к решению прямоугольных треугольных и поэтому не нуждались в теореме синусов. Теоремой синусов пользовались, начиная с 16 века и европейские математики.


П.104. Правильный многоугольник.۞
В египетских и вавилонских старинных памятниках встречаются правильные ,етырёхугольникич, ишестиугольник ,восьмиугольники в виде изображений на стенах и украшений, высеченных из камня. Для пифагорейцев деление окружности на некоторое число равных частей для построения правильных многоугольников имело важное значение. Они говорили, что числа лежат в основе всех явлений мира.

Учение о правильных многоугольниках систематизировал Евклид. Кроме построения правильного треугольника, четырёхугольника, пятиугольника и шестиугольника, Евклид решает задачу построения правильного пятнадцатиугольника только при помощи циркуля и линейки. Долгое время математики напрасно искали способы построения правильного семиугольника, девятиугольника, одиннадцатиугольника, не зная даже, возможно ли вообще построение их с помощью циркуля и линейки. Эта проблема была решена в конце 18 века Гауссом, в 19 лет. После его открытия стало ясно, что можно построить с помощью циркуля и линейки правильные многоугольники с числом сторон: 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 16; 17; 20; 24; 30; 32; 34; 40; 68; 126; 252; 257.

С другой стороны, невозможно при помощи циркуля и линейки построить правильные многоугольники с числом сторон: 7; 9; 11; 13; 14; 18; 19; 21; 22; 23; 25; 27; 28.

П.110. Длина окружности. П.111. Площадь круга.●
В Древней Греции круг и окружность считались венцом совершенства. Действительно, в каждой своей точке окружность «устроена» одинаковым образом, что позволяет ей как бы двигаться «по себе». На плоскости этим свойством обладает ещё лишь прямая. Одно из интереснейших свойств круга состоит в том, что он при заданном периметре ограничивает максимальную площадь. В русском языке слово «круглый» тоже стало означать высокую степень чего-либо: «круглый отличник », «круглый сирота» и даже «круглый дурак».

За много веков до нашей эры люди научились украшать дворцы высокими колоннами, вытачивать шары из камня; интересовались объёмом сосудов цилиндрической формы, длиной окружности колеса экипажа. Употребление круглых тел заставляло людей искать ответ на вопрос: как найти длину окружности, площадь круга. Их поиски привели к необходимости знать отношение длины окружности к диаметру. Вавилоняне около 4000 лет назад принимали на практике это отношение равным трём, хотя знали о том, что оно больше трёх. Древние египтяне считали, что отношение примерно равно 3,16. Все эти значения получали непосредственно измерением. Первый точный ответ дал Архимед.

Отношение любой длины окружности к её диаметру меньше 3 и больше 3. Китайский математик Цю-Шунь-Ши в 5 веке н.э. получил отношение , дающее семь верных знаков после запятой. И только через 1000 лет отношение было переоткрыто в Европе. Символ П впервые встречается в 1706 году в сочинении английского математика Джонса, но в широкое употребление введён русским академиком Л.Эйлером. Фраз для запоминания числа П много. Вот некоторые из них:
Это я знаю и помню прекрасно.

3 1 4 1 5 9

Что я знаю о кругах.

3 1 4 1 5.

Стих С. Боброва.

. «Гордый Рим трубил победу,

Над твердыней Сиракуз,

Но трудами Архимеда

Много больше я горжусь.

Надо нынче нам заняться,

Оказать старинке честь,

Чтобы нам не ошибаться,

Чтоб окружность верно счесть,

Надо только постараться

И запомнить всё как есть:

Три-четырнадцать-пятнадцать

Девяносто два и шесть!» 3, 1415926.
С конца 17 века для вычисления числа пи применяют более эффективные методы высшей математики. Современная математика даёт десятки тысяч цифр после запятой, но это не имеет практического значения, а показывает преимущество современных способов вычисления по сравнению со старыми.

Самая старая из математических задач – это задача о квадратуре круга. Она заключается в следующем: построить квадрат, площадь которого, была бы равна площади данного круга. Эта задача возникла на заре человеческой культуры, и её история охватывает период около 4000 лет. Эту задачу невозможно решить с помощью циркуля и линейки. Это доказал немецкий математик Ф. Линдеман в 1882 году. Он впервые в мировой науке вполне строго доказал , что число П – особое число, трансцендентное. Вот почему Ф. Линдемана называют «победителем числа П», а ещё лучше «победителем задачи о квадратуре круга».



Литература:

  1. Геометрия. Учебник для 7-9классов.Л.С.Атанасян

  2. Глейзер Г.И. История математики в школе.

  3. Кордемский Б.А. Увлечь школьников математикой.

  4. Акимова С. Занимательная математика. Санкт-Петербург. «Тригон», 1997-608с.

  5. Энциклопедический словарь юного математика.

  6. Перельман Я.И Занимательная алгебра.

  • Использование исторических материалов при изучении геометрии в основной школе 7 класс
  • Геометрические инструменты.
  • -------------------------------------------------- Прямая.
  • П.11 Смежные и вертикальные углы.
  • П. 15. 19, 20. Признаки равенства треугольников.
  • П.17 Медианы, биссектрисы, высоты.
  • П.18. Равнобедренный треугольник.
  • Равносторонний треугольник
  • П.23. Задачи на построение.
  • П. 24. Параллельные прямые. =
  • П.27. Об аксиомах геометрии.
  • П.28. Аксиома параллельных прямых.
  • П.30. ▼ Теорема о сумме углов треугольника. ▲
  • П.33. Неравенство треугольника. ▲
  • П .34. Свойства прямоугольных треугольников.
  • 8 класс. ⌂ П. 39-42. Многоугольник. Параллелограмм.
  • П.46. Ромб. ◊ Квадрат. ■.
  • П.47 Осевая и центральные симметрии.
  • П.54. Теорема Пифагора. □
  • П.66. Синус. Косинус. Тангенс
  • П.71. Теорема о вписанном угле.
  • 9 класс. П.76. Понятие вектора
  • П.85. Средняя линия трапеции.
  • П.97, 98. Теоремы синусов и косинусов.
  • П.104. Правильный многоугольник.
  • П.110. ○ Длина окружности. П.111. Площадь круга.●