Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Главная страница


«Использование теоретических знаний по теме: Движение тела в поле тяготения Земли в военной науке баллистике»




Скачать 427.68 Kb.
страница2/3
Дата30.06.2017
Размер427.68 Kb.
ТипЗакон
1   2   3

F=GMm/R2

где Gгравитационная константа, определяемая экспериментально. В единицах СИ ее значение составляет приблизительно 6,67×10–11 (Н·м2)/кг2.

Относительно этого закона нужно сделать несколько важных замечаний. Во-первых, его действие в явной форме распространяется на все без исключения физические материальные тела во Вселенной. В частности, сейчас вы и эта книга испытываете равные по величине и противоположные по направлению силы взаимного гравитационного притяжения. Конечно же, эти силы настолько малы, что их не зафиксируют даже самые точные из современных приборов, — но они реально существуют, и их можно рассчитать. Точно так же вы испытываете взаимное притяжение и с далеким квазаром, удаленным от вас на десятки миллиардов световых лет. Опять же, силы этого притяжения слишком малы, чтобы их инструментально зарегистрировать и измерить.



Второй момент заключается в том, что сила притяжения Земли у ее поверхности в равной мере воздействует на все материальные тела, находящиеся в любой точке земного шара. Прямо сейчас на нас действует сила земного притяжения, рассчитываемая по вышеприведенной формуле, и мы ее реально ощущаем как свой вес. Если мы что-нибудь уроним, оно, под действием всё той же силы, равноускоренно устремится к земле. Галилею первому удалось экспериментально измерить приблизительную величину ускорения свободного падения (см. Уравнения равноускоренного движения) вблизи поверхности Земли. Это ускорение обозначают буквой g.

Для Галилея g было просто экспериментально измеряемой константой. По Ньютону же ускорение свободного падения можно вычислить, подставив в формулу закона всемирного тяготения массу Земли M и радиус Земли R, помня

при этом, что, согласно Второму закону механики Ньютона, сила, действующая на тело, равняется его массе, умноженной на ускорение. Тем самым то, что для Галилея было просто предметом измерения, для Ньютона становится предметом математических расчетов или прогнозов.

Наконец, закон Всемирного тяготения объясняет механическое устройство Солнечной системы, и законы Кеплера, описывающие траектории движения планет, могут быть выведены из него. Для Кеплера его законы носили чисто описательный характер, ученый просто обобщил свои наблюдения в математической форме, не подведя под формулы никаких теоретических оснований. В великой же системе мироустройства по Ньютону, законы Кеплера становятся прямым следствием универсальных законов механики и закона Всемирного тяготения. То есть, мы опять наблюдаем, как эмпирические заключения, полученные на одном уровне, превращаются в строго обоснованные логические выводы при переходе на следующую ступень углубления наших знаний о мире.

Картину устройства солнечной системы, вытекающую из этих уравнений и объединяющую земную и небесную гравитацию, можно понять на простом примере. Предположим, вы стоите у края отвесной скалы, рядом с вами пушка и горка пушечных ядер. Если просто сбросить ядро с края обрыва по вертикали, оно начнет падать вниз отвесно и равноускоренно. Его движение будет описываться законами Ньютона для равноускоренного движения тела с ускорением g. Если теперь выпустить ядро из пушки в направлении горизонта, оно полетит и будет падать по дуге. И в этом случае его движение будет описываться законами Ньютона, только теперь они применяются к телу, движущемуся под воздействием силы тяжести и обладающему некой начальной скоростью в горизонтальной плоскости. Теперь, раз за разом заряжая в пушку всё более тяжелое ядро и стреляя, вы обнаружите, что, поскольку каждое следующее ядро вылетает из ствола с большей начальной скоростью, ядра

падают всё дальше и дальше от подножия скалы.

Теперь представьте, что вы забили в пушку столько пороха, что скорости ядра хватает, чтобы облететь вокруг земного шара. Если пренебречь сопротивлением воздуха, ядро, облетев вокруг Земли, вернется в исходную точку точно с той же скоростью, с какой оно изначально вылетело из пушки. Что будет дальше, понятно: ядро на этом не остановится и будет продолжать наматывать круг за кругом вокруг планеты. Иными словами, мы получим искусственный спутник, обращающийся вокруг Земли по орбите, подобно естественному спутнику — Луне. Так мы поэтапно перешли от описания движения тела, падающего исключительно под воздействием «земной» гравитации (ньютоновского яблока), к описанию движения спутника (Луны) по орбите, не изменяя при этом природы гравитационного воздействия с «земной» на «небесную». Вот это-то прозрение и позволило Ньютону связать воедино считавшиеся до него различными по своей природе две силы гравитационного притяжения.

Остается последний вопрос: правду ли рассказывал на склоне своих дней Ньютон? Действительно ли всё произошло именно так? Никаких документальных свидетельств того, что Ньютон действительно занимался проблемой гравитации в тот период, к которому он сам относит свое открытие, сегодня нет, но документам свойственно теряться. С другой стороны, общеизвестно, что Ньютон был человеком малоприятным и крайне дотошным во всем, что касалось закрепления за ним приоритетов в науке, и это было бы очень в его характере — затемнить истину, если он вдруг почувствовал, что его научному приоритету хоть что-то угрожает. Датируя это открытие 1666-м годом, в то время как реально ученый сформулировал, записал и опубликовал этот закон лишь в 1687 году, Ньютон, с точки зрения приоритета, выгадал для себя преимущество больше чем в два десятка лет.

Я допускаю, что кого-то из историков от моей версии хватит удар, но на

самом деле меня этот вопрос мало беспокоит. Как бы то ни было, яблоко Ньютона остается красивой, притчей и блестящей метафорой, описывающей непредсказуемость и таинство творческого познания природы человеком. А является ли этот рассказ исторически достоверным — это уже вопрос вторичный.



Из биографии Генри Кавендиша.

(10 октября 1731 г. – 24 февраля 1810 г.).



Английский физик и химик Генри Кавендиш родился в Ницце; второй сын лорда Чарлза Кавендиша, герцога Девонширского. В 1749–1753 гг. обучался в Кембриджском университете, где заинтересовался естественными науками (надо отметить, что отец Кавендиша довольно успешно занимался метеорологией). В 1860 г. Кавендиш стал членом Лондонского королевского общества, а в 1802 г. был избран в Парижскую академию наук. Унаследовав в 1773 г. от своего дяди крупное состояние, Кавендиш тратил почти все доходы на проведение экспериментов; в своем доме в Лондоне он устроил лабораторию, где собрал лучшие приборы и инструменты того времени. Один из биографов Кавендиша, французский физик Жан Батист Био, назвал его самым учёным среди богачей и самым богатым среди учёных. В то же время Кавендиш вёл очень скромный и уединённый образ жизни. В частной жизни Кавендиш слыл чудаком и оригиналом; со своими домашними он объяснялся исключительно знаками, раз навсегда выработанными, дабы не терять напрасно времени и слов, и охотно беседовал только с коллегами по науке.

Основные труды Кавендиша относятся к химии газов и различным разделам экспериментальной физики. В 1766 г. Кавендиш опубликовал первую важную работу по химии – «Искусственный воздух», где сообщалось об открытии «горючего воздуха» (водорода). Он разработал методику собирания,




очистки и изучения газов, с помощью которой в 1766 г. ему удалось получить в чистом виде водород и углекислый газ, установить их удельный вес и другие свойства. В 1781 г. Кавендиш определил состав воздуха, а в 1784 г., сжигая водород, установил химический состав воды, опровергнув представления об её элементарности. Оставаясь твёрдым приверженцем теории флогистона, он тем не менее не оспаривал взгляды своего современника Антуана Лавуазье, допуская, что его кислородная теория имеет право на существование.

В 1772 г. одновременно с Даниилом Резерфордом Кавендиш открыл азот, однако опубликовал свои результаты с большим опозданием. В 1785 г. с помощью электрической искры он получил оксиды азота и исследовал их свойства. Он показал, что при пропускании электрического разряда через воздух над поверхностью воды азот реагирует с кислородом с образованием азотной кислоты. При этом Кавендиш обратил внимание на то, что 1/120 часть первоначального объема воздуха не вступает в реакцию. Вследствие несовершенства методов анализа и приборов Кавендиш не смог обнаружить в непрореагировавшем остатке новый элемент – аргон, который был открыт в 1894 г. Уильямом Рамзаем.

Большинство работ Кавендиша в области теплоты и электричества были опубликованы лишь через много лет после его смерти (труды по электричеству – в 1879 г. Джеймсом Максвеллом, собрание трудов – в 1921г.). Кавендиш ввёл в науку понятие электрического потенциала, исследовал зависимость ёмкости электрического конденсатора от среды, изучал взаимодействие электрических зарядов, предвосхитив закон Ш. Кулона. Он впервые сформулировал понятие теплоёмкости. В 1790 г. Кавендиш сконструировал крутильные весы и измерил с их помощью силу притяжения двух сфер, подтвердив закон Всемирного тяготения, а также определил гравитационную постоянную, массу и среднюю плотность Земли. Именем Кавендиша названа организованная Максвеллом в 1874 г. физическая лаборатория в Кембриджском университете.




Опыт Генри Кавендиша.

Установление Ньютоном закона Всемирного тяготения явилось важнейшим событием в истории физики. Его значение определяется прежде всего универсальностью гравитационного взаимодействия. На законе всемирного тяготения основывается один из центральных разделов астрономии — небесная механика. Мы ощущаем силу притяжения к Земле, однако притяжение малых тел друг к другу неощутимо. Требовалось экспериментально доказать справедливость закона всемирного тяготения и для обычных тел. Именно это и сделал Г.Кавендиш, попутно определив среднюю плотность Земли.





где m1 и m2 — массы материальных точек, R — расстояние между ними, a F — сила взаимодействия между ними. До начала XIX века G в закон всемирного тяготения не вводилось, так как для всех расчетов в небесной механике достаточно использовать постоянные GM, имеющие кинематическую размерность. Постоянная G появилась впервые, по-видимому, только после унификации единиц и перехода к единой метрической системе мер в конце XVIII века. Первоначально эксперимент был предложен Джоном Мичеллом. Именно он сконструировал главную деталь в экспериментальной установке — крутильные весы, однако умер в 1793 году так и не поставив опыта. После его смерти экспериментальная установка перешла к Генри Кавендишу. Кавендиш модифицировал установку, провёл опыты и описал их в Philosophical Transactions в 1798 году.

Установка представляет собой деревянное коромысло с прикреплёнными к его концам небольшими свинцовыми шарами. Оно подвешено на нити из посеребрённой меди длиной 1 м. К шарам подносят шары большего размера массой 159 кг, сделанные также из свинца. В результате действия гравитационных сил коромысло закручивается на некий угол. Жёсткость нити была такой, что коромысло делало одно колебание за 15 минут. Угол поворота коромысла определялся с помощью луча света, пущенного на зеркальце на коромысле, и отражённого в микроскоп. Зная упругие свойства нити, а также угол поворота коромысла, можно вычислить гравитационную постоянную. Для предотвращения конвекционных потоков установка была заключена в ветрозащитную камеру. Угол отклонения измерялся при помощи телескопа. Списав закручивание нити на магнитное взаимодейстивие железного стержня и свинцовых шаров, Кавендиш заменил его медным, получив те же результаты.



Скорость при баллистическом движении.

Для расчёта скорости υ снаряда произвольной точке траектории, а также для определения угла β, который образует вектор скорости с горизонталью, достаточно знать проекции скорости на оси X и Y:



Если υх и υу известны, по теореме Пифагора можно найти скорость: υ=√υх2у2. Отношение катета υу, противолежащего углу β, к катету υх, принадлежащему к этому углу, определяет tg β и соответственно угол β: tg β =υух. При равномерном движении по оси X проекция скорости движения υх

остаётся неизменной и равной проекции начальной скорости υ : υх= υо cos2 α. Зависимость υу(t) определяется формулой: υу= υ+ ау t, в которую следует подставить: υ= υ0 sin α, aу= -g. Тогда υу = υ0 sin α - gt.

Графики зависимости проекций скорости υх, υу от времени приведены ниже:



В любой точке траектории проекция скорости на ось X остается постоянной. По мере подъема снаряда проекция скорости на ось У уменьшается по линейному закону. При t=0 она равна υу= υ0 sinα. Найдем промежуток времени, через который проекция этой скорости станет равна нулю:

0 = υ0 sin α - gt , t =(υ0sin α)/g

Полученный результат совпадает со временем подъема снаряда на

максимальную высоту. В верхней точке траектории вертикальная компонента скорости равна нулю.

Следовательно, тело больше не поднимается. При t > tmax проекция скорости υу становится отрицательной. Значит, эта составляющая скорости направлена противоположно оси Y, т. е. тело начинает падать вниз.





Так как в верхней точке траектории υ=0, то скорость снаряда равна:

υ = υх= υ0 cos α
Траектория движения тела в поле силы тяжести.

Рассмотрим основные параметры траектории снаряда, вылетающего с начальной скоростью υ0 из орудия, направленного под углом α к горизонту.

Движение снаряда происходит в вертикальной плоскости XY, содержащей υ0.



Выберем начало отсчёта в точке вылета снаряда. В евклидовом физическом пространстве перемещения тела по координатным осям X и Y можно рассматривать независимо.



Ускорение свободного падения g направлено вертикально вниз, поэтому по оси X движение будет равномерным. Это означает, что проекция скорости υх остаётся постоянной, равной её значению в начальный момент времени υ. Закон равномерного движения снаряда по оси X имеет вид: x= x0+ υ t. (1) По оси Y движение является равномерным, так как вектор ускорения свободного

падения g постоянен. Закон равнопеременного движения снаряда по оси Y можно представить в следующем виде: y = y0+v t + (ауt2)/2. (2) Криволинейное баллистическое движение тела можно рассматривать как результат сложения двух прямолинейных движений равномерного движения по оси X и равнопеременного движения по оси Y.

В выбранной системе координат:



x0=0 y0=0

υ= υ0 cos α υ= υ0 sin α

Ускорение свободного падения направлено противоположно оси Y, поэтому: ау= -g. Подставляя x0, y0, υ,υ, и ау в уровнения (1) и (2), получаем закон баллистического движения в координатной форме, в виде системы двух уравнений:

(3)

Уравнение траектории снаряда, или зависимость y(x), можно получить, исключая из уравнений системы время. Для этого из первого уравнения системы найдём: t=х/(υ0 cos α). Подставляя это значение во второе уравнение системы, получаем: y = υ0 sin α х/(υ0 cos α) gx2/(2υ02cos2α) . Сокращая υ0 в первом слагаемом и учитывая, что sin α/cos α=tg α, получаем уравнение траектории снаряда: y = x tg αgx2/(2υ02cos2α) (4).



Траектория баллистического движения.

Построим баллистическую траекторию. Графиком квадратичной функции, как известно, является парабола. В рассматриваемом случае парабола проходит

через начало координат, так как из (4) следует, что у=0 при х=0. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент ( - g/(2υ02cos2α) ) при x2 меньше нуля.


Определим основные параметры баллистического движения: время подъема на максимальную высоту, максимальную высоту, время и дальность полета. Вследствие независимости движений по координатным осям подъем снаряда по вертикали определяется только проекцией начальной скорости υ на ось Y. В соответствии с формулой: tmax0/g, полученной для тела, брошенного вверх с начальной скоростью υ0, время подъема снаряда на максимальную высоту равно: tmax0у/g=(υ0 sin α)/g.

Максимальная высота подъема может быть рассчитана по формуле: уmax=υ02, если υ0у подставить вместо υ0: уmax = υ0у2/g = (υ02 sin2α)/2g.



На последнем рисунке сопоставляется вертикальное и криволинейное движение с одинаковой начальной скоростью по оси Y. В любой момент времени тело, брошенное вертикально вверх, и тело, брошенное под углом к горизонту с той же вертикальной проекцией скорости, движутся по оси Y синхронно.

Так как парабола симметрична относительно вершины, то время полета tn снаряда в 2 раза больше времени его подъема на максимальную высоту: tn=2tmax=(2υ0 sin α)/g. Подставляя время полета в закон движения по оси X, получаем максимальную дальность полета: xmax=(υ0 cos α)·(2υ0 sin α)/g. Так как
1   2   3