Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Главная страница


Биография Родился Пьер Ферма 17 августа 1601 года на юге Франции в городке Бомон-де-Ломань




Скачать 37.13 Kb.
Дата05.07.2017
Размер37.13 Kb.
ТипБиография
ПЬЕР ФЕРМА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

  1. Биография

Родился Пьер Ферма 17 августа 1601 года на юге Франции в городке Бомон-де-Ломань.

Учился в колледже, где славился как тонкий знаток античности.

Его первая математическая работа была восстановление двух утерянных книг Аполлония «О плоских местах». Своей профессией он избирает юриспруденцию. В Орлеане ему присуждена степень бакалавра, он переселяется в Тулузу, где учится в университете и получает место советника. Женится на Луизе де Лонг, у них было пятеро детей. Старшему сыну мы обязаны первым собранием сочинений Ферма (1679). При жизни Ферма ни одно его сочинение не было опубликовано. В работах, относящихся к 1629 году, он вводит бесконечно малую величину в аналитическую геометрию. Кроме того, Ферма (раньше Декарта!) пришёл к идее системы координат. В 1633 году он придумывает формулу простого числа. Около 1637 года Ферма открыл свою Великую теорему. В 1640 году он формулирует свою Малую Теорему. В 1642 году Ферма открыл метод вычисления площадей, ограниченных любыми параболами и гиперболами. Им же было показано, что площадь неограниченной фигуры может быть конечной. Переписывается со знаменитыми учеными своего времени: Рене Декартом, Мареном Мерсенном, Этьеном и Блезом Паскалями, Христианом Гюйгенсом, Френиклем де Бесси, Дж. Валлисом, Торричелли.

Умер Пьер Ферма в 1665 году в городе Кастр.




  1. Малая теорема Ферма. Доказательство

Если p — простое число, a — целое число, то число ap — a кратно p.

Доказательство.

Утверждение очевидно, если a делится на p, так как ap — a=a(ap-1-1). Если это не так, то каждое из p-1 чисел a, 2a, ..., (p-1)a дает при делении на p ненулевой остаток:

a=k1p r1,
2a=k2p r2,
...................,
(p-1)a=kp -1p rp -1.

Предположим, что среди всех этих остатков найдутся, по крайней мере, два одинаковых. Но наше предположение неверно, так как при rn=rm число (n-m)a=(kn-km)p делится на p, что противоречиво, поскольку |n-m|<p и a взаимно просты с p. Значит, все остатки r1 , ..., rp-1 между собой различны и образуют перестановку чисел 1, 2, ..., p-1. Перемножая все равенства системы, получаем:

(p-1)!ap -1=N·p r1r2·...·rp-1=N·p (p-1)! ;

(p-1)!ap-1-(p-1)!=Np

(p-1)!(ap-1-1)=Np

Следовательно, (p-1)!ap -1 -1 делится на p, так как правая часть заведомо делится на p. При этом (p-1)! не делится на p, тогда ap -1 − 1 делится на p. Значит, ap − a делятся на p.




  1. Формула простого числа

На полях “Арифметики” Диофанта Ферма высказал предположение, что “генератором” простых чисел будет следующая формула:

, n = 0,1,2,...
В 1733 году Эйлер опровергает это утверждение, приведя контрпример: n=5.





Составными оказались и другие числа Ферма (n=6,7,8,9,10,11,12,15,..). Самое большое известное составное число Ферма получается при n=452.

Несмотря на то, что Ферма ошибся, идея «генерирования» были воспринята с энтузиазмом, а найденные им числа использовались математиками и в дальнейшем – например, Эйлер предложил многочлен, x2-x 41, который при всех целых x от 0 до 40 дает только простые числа; Гаусс предложил следующую теорему: правильный n-угольник может быть построен с помощью циркуля и линейки только тогда, когда , где p с индексом — различные простые числа Ферма.




  1. Теорема Ферма – Эйлера

«Для того, чтобы нечётное простое число было представлено в виде суммы двух квадратов, необходимо и достаточно, чтобы оно при делении на 4 давало в остатке 1». Например, число 5. При делении на 4 оно даёт остаток 1. Также его можно представить в виде суммы двух квадратов: 5=22 1. То же самое и с числом 13: 13 = 4*3 1, 13 = 32 22.

Эту теорему Ферма высказал на Рождество 1640 года в письме к Мерсенну, не посылая её доказательства. Но спустя 20 лет он рассказывает Каркави основную идею доказательства, которая основывается на ”методе спуска”.

Первые доказательства, которые впоследствии были опубликованы, найдены Эйлером между 1742 и 1747 годами. Сам Эйлер придумал доказательство, соответствующее замыслу Ферма. Поэтому, отдавая должное двум учёным, мы называем эту теорему «Теоремой Ферма-Эйлера».


  1. Великая Теорема Ферма

"Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.".

“Куб, однако, на два куба или квадроквадрат на два квадроквадрата и вообще никакую до бесконечности сверх квадрата степень в две того же названия невозможно разбить”. И не поставив точку, Ферма приписал: “я открыл поистине удивительное доказательство этого предложения. Но оно не умещается на узких полях”.



Современная формулировка: Не существует отличных от нуля целых чисел x, y и z, для которых имеет место равенство , при n>2.


  1. История Великой Теоремы

Прямую формулировку своей теоремы Ферма не формулировал ни в одном письме – своим современникам предлагал лишь частные случаи этой теоремы.

Первый серьёзный результат был получен Эйлером – он показал, что случай n=4 уникален в смысле доказательства. Он доказал теорему для n=3, но его доказательство оказалось дефектным. Первое строгое доказательство для n=3 принадлежит Гауссу.

Лежен Дирихле и Лежандр почти одновременно доказали Великую Теорему для n=5. В 1839 году она была доказана для n=7.

Следующий важный результат был получен Куммером – он доказал теорему для n<100.



В 1929 году Вандивер получил условия, позволяющие проверить истинность теоремы для любого простого показателя. Позже, благодаря ЭВМ, Великая Теорема Ферма была проверена для всех показателей n<100000.

В 1995 году Эндрю Вайлс опубликовал доказательство «Великой теоремы Ферма» в "Annals of Mathematics" (стр. 443 – 551) под названием "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem".

  • Малая теорема Ферма. Доказательство
  • Формула простого числа
  • Теорема Ферма – Эйлера
  • Великая Теорема Ферма
  • Современная формулировка: Не существует отличных от нуля целых чисел x, y и z, для которых имеет место равенство